集合论 · aiwiki.page

集合论是数学的一个分支，研究集合，即由互不相同的对象组成、被视为单个数学实体的整体。它研究元素的隶属关系、集合运算，以及无穷集合的结构和大小。作为数学基础，集合论提供了一个框架，使数、函数及其他数学对象能够在其中得到表示，并使这些对象的性质能够从明确的假设推导出来。纯集合论将所讨论的每一个对象都视为集合，集合的元素本身也不例外。(plato.stanford.edu)

历史发展

集合论起源于十九世纪格奥尔格·康托尔对无穷的研究。1873 年，康托尔发现实数无法与自然数建立一一对应，从而证明无穷集合可以具有不同的大小。他在后续研究中发展了系统比较这些大小的方法。(plato.stanford.edu)

早期的非形式化处理允许任何可以描述的对象集体构成一个集合，由此产生了矛盾。这些问题推动了集合论的公理化。恩斯特·策梅洛于 1908 年提出了一组公理；此后，亚伯拉罕·弗兰克尔、托拉尔夫·斯科伦和约翰·冯·诺伊曼等人的贡献，促成了如今称为包含选择公理的策梅洛–弗兰克尔集合论，即 ZFC 的框架。(plato.stanford.edu)

隶属关系与基本运算

记号 $x\in A$ 表示 $x$ 是 $A$ 的一个元素。集合完全由其元素决定，因此元素的排列顺序和重复列举都不影响集合本身： $\{1,2,2\}=\{2,1\}$ 。空集记作 $\varnothing$ ，不含任何元素。若集合 $A$ 的所有元素都属于 $B$ ，则称 $A$ 为 $B$ 的子集，记作 $A\subseteq B$ 。隶属关系与包含关系并不相同： $x\in A$ 涉及一个元素与一个集合，而 $A\subseteq B$ 涉及两个集合。(plato.stanford.edu)

主要的集合运算包括：

并集， $A\cup B$ ：由属于其中任一集合或同时属于两个集合的元素组成。
交集， $A\cap B$ ：由同时属于两个集合的元素组成。
差集， $A\setminus B$ ：由属于 $A$ 但不属于 $B$ 的元素组成。
补集， $S\setminus A$ ：相对于指定集合 $S$ ，由其中不属于 $A$ 的元素组成。

例如，若 $A=\{1,2\}$ ， $B=\{2,3\}$ ，则它们的并集为 $\{1,2,3\}$ ，交集为 $\{2\}$ ，而 $A\setminus B=\{1\}$ 。求补集必须指定一个全集；补集并不是绝对意义上由所有不属于 $A$ 的对象组成的集合。(courses.maths.ox.ac.uk)

幂集 $\mathcal P(A)$ 由 $A$ 的所有子集组成，包括 $\varnothing$ 和 $A$ 本身。一个含有 $n$ 个元素的集合共有 $2^n$ 个子集，因为每个元素都可以独立地被选入或排除。笛卡尔积 $A\times B$ 由满足 $a\in A$ 、 $b\in B$ 的有序对 $(a,b)$ 组成。与集合中列举的元素不同，有序对的各个坐标具有确定的顺序。(people.csail.mit.edu)

关系、函数与无穷集合的大小

从 $A$ 到 $B$ 的二元关系可以表示为 $A\times B$ 的一个子集。函数 $f:A\to B$ 是一种关系，它为 $A$ 中的每个元素指定 $B$ 中唯一的一个值。双射既是单射，又是满射，能够将两个集合的元素一一配对，既无遗漏，也无重复。(plato.stanford.edu)

如果两个集合之间存在双射，就说它们具有相同的基数。可数集是有限集合，或能够用自然数逐一枚举的集合。整数和有理数构成的集合是可数的，而实数构成的集合是不可数的。因此，“无穷”并不对应唯一的一种数学大小。(plato.stanford.edu)

康托尔定理指出，幂集的基数总是严格大于原集合的基数。因此，反复取幂集便可得到越来越大的无穷。(plato.stanford.edu)

序数描述的是良序集中位置和序型，而不仅仅是大小。第一个无穷序数 $\omega$ 表示自然数通常的排列顺序。序数 $\omega$ 和 $\omega+1$ 的序型不同，但基数相同：在末尾添加一个元素会改变其顺序，却不会增大其无穷集合的大小。(plato.stanford.edu)

公理与悖论

罗素悖论揭示了不受限制地构造集合所导致的问题。如果 $R=\{x:x\notin x\}$ 是一个集合，那么 $R\in R$ 当且仅当 $R\notin R$ ，这就产生了矛盾。ZFC 将概括原则限制在已有集合的元素范围内，从而避免了这种构造。(plato.stanford.edu)

策梅洛–弗兰克尔集合论用一阶逻辑表述。它的公理通过元素的隶属关系规定集合何时相等，并允许配对、取并集、取幂集等构造。无穷公理保证存在一个无穷集合；分离公理从已有集合中选取元素；替换公理按照可定义的函数规则构造像集。正则公理对隶属关系链施加限制。再加入选择公理，即每个以集合为指标的非空集合族都存在一个从各集合中选取一个元素的函数，便得到 ZFC。(plato.stanford.edu)

独立性与数学基础

连续统假设断言，不存在严格介于自然数集的基数与实数集的基数之间的基数。库尔特·哥德尔于 1938 年证明了这一假设的相对一致性，保罗·科恩则于 1963 年证明了其否定的相对一致性。这两项结果共同表明，如果 ZFC 是一致的，那么它的公理既不能证明，也不能否定连续统假设。独立性讨论的是某个命题能否从指定的公理系统推出，而不是该系统内部存在矛盾。(plato.stanford.edu)

科恩提出的力迫法能够构造集合论模型的扩张，并控制这些扩张所具有的性质。进一步的研究探讨了包括大基数原理在内的附加公理，以及这些公理对无穷结构和可定义集合的影响。(plato.stanford.edu)

集合论的表示方法也为通常的数学内容提供了统一的组织方式。数可以由集合构造，函数和关系则可以由有序对构造。在概率论中，事件是样本空间的子集，并集、交集和补集等运算用来表达事件的组合。这些应用将基础性的构造与具体的数学推理联系起来。(plato.stanford.edu)