逻辑学是对推理的系统研究：结论如何从前提得出，以及哪些推理模式能够保真，或以其他方式为结论提供依据。它考察论证、逻辑后承，以及用于表达它们的形式语言。逻辑学在历史上是哲学的一个分支，如今也是数学的重要领域，并为计算机科学提供基础方法。它研究的不只是人们相信什么，而是陈述之间的关系，以及推理在什么条件下能够成立。
论证、有效性与真
论证由前提和结论组成，前提用于支持结论。在演绎推理中，这种支持旨在具有决定性：如果前提为真，结论就必然为真。有效性关注的是这种关系，而不是前提实际上是否为真。有效的论证可以包含假前提；健全的论证则既有效，又具有真的前提。
例如，“所有哺乳动物都是动物；所有鲸都是哺乳动物；因此，所有鲸都是动物”是有效的。这一论证的形式保证，在任何使两个前提都为真的解释下，结论也为真。反过来，无效的论证也可能得出真的结论。
一种标准的有效推理是肯定前件式：由“如果 P，那么 Q”和“P”，推出“Q”。如果改为由同一个条件前提和 Q 推出 P，就是肯定后件，是一种无效的推理模式。这类区分有助于识别谬误，不过有些推理错误取决于语境、歧义或相关性，而非形式结构。
归纳推理能够为结论提供支持，但不保证结论为真。观察结果可能使某个概括很有可能成立，却仍不能排除例外。对归纳推理的分析与概率和认识论有所交叉。因此，演绎有效性、归纳强度和前提的可信度，是评估论证的不同维度。
形式语言与解释
形式逻辑使用明确定义的符号和规则来表示推理。形式语言规定哪些表达式是合式的；语义则说明如何解释这些表达式。形式化使推理模式更易于比较，但将日常语言转换为形式语言时，可能需要作出实质性的选择。
命题逻辑将完整的陈述视为基本单位，并通过否定、合取、析取和蕴涵等联结词将它们组合起来。在经典命题逻辑中，每个陈述都被赋予两个真值之一。真值表可以确定复合表达式的真值，并检验推理是否有效。
一阶逻辑引入了变量、谓词、关系和量词。全称量化表达针对论域中每个对象的断言；存在量化则表达针对至少一个对象的断言。因此，“每一头鲸都是哺乳动物”可以表示为 ∀x(Whale(x) → Mammal(x))。量词的顺序很重要：“每个人都敬佩某个人”不一定意味着存在一个被所有人敬佩的人。
逻辑后承通常通过解释来定义：如果在所有使前提为真的解释下，结论也都为真，那么结论就是前提的逻辑后承。因此，论域和谓词的解释是分析中不可或缺的部分。
证明与元理论
证明系统提供从假设推导表达式的规则。形式证明记录推导过程，其中的每一步都可以依据这些规则进行核查。公理是在特定理论中被接受为出发点的陈述。
证明论研究推导及其结构，而模型论研究满足语句或理论的数学结构。元理论考察逻辑系统本身的性质。可靠的证明系统只能推导出语义后承；完备的证明系统则能够推导出相应类别中的每一个语义后承。
经典一阶逻辑具有可靠且完备的证明系统，但不存在能够判定所有一阶语句是否有效的算法。相比之下，命题逻辑的有效性是可判定的。
哥德尔不完备定理揭示了相容、可有效公理化且能够表达足够多算术内容的理论所面临的局限。这类理论无法判定其语言中的每一个语句。这与一阶逻辑的完备性并不矛盾：逻辑演算的完备性，不同于某个特定理论能否证明或否证每一个语句。
历史发展
在古希腊，亚里士多德建立了系统的三段论理论，分析涉及直言命题的演绎推理。斯多亚学派的思想家研究了更接近命题推理的模式。印度也发展出了独特的论证分析传统，尤其是正理派和佛教逻辑；中国古代的墨家思想家同样形成了自己的传统。
中世纪伊斯兰和拉丁学术传统中的学者拓展了逻辑分析，研究范围包括词项、后承关系和模态陈述。十九世纪数学的发展改变了这一领域。乔治·布尔对推理的代数化处理推动了布尔代数的发展，而戈特洛布·弗雷格在1879年创立了一套强大的量化逻辑记号体系。
二十世纪的研究将逻辑与数学基础、集合论和计算联系起来。艾伦·图灵为确立机械化程序的精确界限作出了贡献，将逻辑判定方法的问题与可计算性联系起来。
其他逻辑系统与应用
经典逻辑并不是唯一的框架。模态逻辑引入了表示必然性和可能性的算子，相关系统还用于分析知识、义务或时间。直觉主义逻辑体现了构造性的证明方法，不承认排中律是可以不受限制地使用的原则。次协调逻辑允许矛盾存在，而不会因此自动使任意陈述都可被推出。
这些系统的差别在于规则和解释，而不只是记号。它们是否适用，取决于所要建模的现象以及希望得到的推论。
逻辑为软件验证、数据库查询、电路设计和自动定理证明提供支持。符号人工智能使用明确的表示和推理规则，而证明助手则在特定的形式框架内核查数学推导。在日常讨论中，逻辑分析将论证结构与证据、意义以及前提在事实上的可靠性等问题区分开来。