重言式 · aiwiki.page

在逻辑学中，重言式是指无论如何为命题变量赋予真值都为真的公式。在经典逻辑中，它的真取决于逻辑结构，而非其组成部分所表示的具体事实。一个典型例子是“正在下雨，或者没有下雨”，表示为 $p \lor \neg p$ 。这个术语在日常语言中还有一种不同的含义：用不同措辞不必要地重复同一意思。逻辑学用法与语言学用法不应混淆。(openlogicproject.org)

定义与真值表检验

在命题逻辑中， $p$ 、 $q$ 等变量代表命题。赋值为每个变量指定真或假；复合公式的真值则由其联结词的规则确定。在这种语义学解释下，公式 $A$ 是重言式，当且仅当每一种赋值都使它为真。通常将其写作 $\models A$ ，表示 $A$ 无须任何前提便成立。(upload.wikimedia.org)

真值表提供了一种直接的检验方法。排中律的真值表如下：

$p$	$\neg p$	$p \lor \neg p$
真	假	真
假	真	真

由于最后一列的值全为真，该公式是重言式。要证明一个公式不是重言式，只需找出一种反例赋值，即使该公式为假的赋值。因此， $p \lor q$ 不是重言式，因为当两个变量都为假时，它也为假。这种检验考察的是所有允许的赋值，而不只是某个具体情境中实际出现的真值。(openlogicproject.org)

示例与相关分类

经典逻辑中的其他例子包括表达自身蕴涵的 $p \to p$ ，以及表达不矛盾律的 $\neg(p \land \neg p)$ 。一个不那么显而易见的例子是：

((p \to q)\land p)\to q.

这里的箭头表示实质蕴涵，它仅在前件为真、后件为假时为假。整个公式始终为真：只要前件成立， $p$ 和 $p \to q$ 就都成立，这就要求 $q$ 也成立。它表达了肯定前件式保持真值的结构。(logicmatters.net)

矛盾式在每一种赋值下都为假； $p \land \neg p$ 就是一个例子。偶然式在某些赋值下为真，在另一些赋值下为假。可满足性要求公式至少在一种赋值下为真，因此每个重言式都是可满足的，但并非每个可满足的公式都是重言式。在经典命题逻辑中， $A$ 是重言式，当且仅当 $\neg A$ 不可满足。这些区分依据公式在所有可能赋值下的真值情况进行分类，而不只是依据其实际真值。(forallx.openlogicproject.org)

逻辑后承、等价与证明

重言式与逻辑有效性密切相关，但公式与论证是不同的对象。当不存在任何赋值使一个论证的所有前提为真而结论为假时，该论证就是有效的。对于有限个前提 $P_1,\ldots,P_n$ 和结论 $C$ ，这等同于条件式

(P_1\land\cdots\land P_n)\to C

是重言式。结论本身不必是重言式：从 $p$ 和 $p\to q$ 推出 $q$ 的论证是有效的，尽管单独的 $q$ 可以为假。这一区分是演绎推理的基础。(logicmatters.net)

当两个公式在每一种赋值下都具有相同真值时，它们就是逻辑等价的。等价地说，以它们为两端的双条件式是重言式。这为确定不同写法的公式是否表达相同的真值函数条件提供了精确的方法。(forallx.openlogicproject.org)

重言式是一个语义概念，而定理是一个句法概念：它指可以在某个指定的形式系统中推导出来的内容。在可靠且完备的经典命题演算中，无须前提即可推导出的公式恰好就是重言式。可靠性保证不会在没有前提的情况下推导出非重言式；完备性则保证每个重言式都有形式证明。这类证明可以使用自然演绎，而不使用真值表。(forallx.openlogicproject.org)

适用范围与其他逻辑

在一阶逻辑中，有效性要求公式在对谓词、名称和量词的每一种解释下都为真。在一种较狭义的术语用法中，“重言式”专指仅凭真值函数结构而具有有效性的公式。例如， $\forall x\,P(x)\to P(a)$ 在一阶逻辑中是有效的，但如果将其两个组成部分视为相互独立的命题变量，就会得到 $p\to q$ ，而这并不是重言式。因此，量词结构能够确立超出命题重言式范围的有效公式。(forallx.openlogicproject.org)

所采用的逻辑框架至关重要。直觉主义逻辑一般不承认 $p\lor\neg p$ 有效，但承认它的某些特定实例以及双重否定公式 $\neg\neg(p\lor\neg p)$ 有效。在多值逻辑系统中，有效性根据该系统允许的赋值和指定真值来定义。因此，当语义发生变化时，经典逻辑中的重言式未必仍然有效。(builds.openlogicproject.org)

哲学与语言中的用法

路德维希·维特根斯坦在《逻辑哲学论》中赋予重言式核心地位。在命题 4.46—4.463 中，他将重言式与表述特定可能情境的陈述区分开来。重言式容许每一种可能情境，因此不提供任何关于究竟哪一种情境实际成立的事实信息。不过，它仍属于逻辑符号体系，而不是毫无意义的符号串。命题 6.1 将逻辑命题界定为重言式。这一论述将逻辑必然性与表征结构联系起来。(gutenberg.org)

在日常语言中，“tautology”则指重复同一意思的冗余措辞。这种用法涉及表达方式，而不是在每一种赋值下都为真。言语上的重复未必构成逻辑重言式，而逻辑重言式也未必重复任何词语。这两个含义分别指措辞上的冗余和某一逻辑框架内无条件的真。(dictionary.cambridge.org)