次协调逻辑

次协调逻辑是一类逻辑学系统，允许在信息相互矛盾的情况下进行推理，而不会自动使每个陈述都变得可推导。其核心特征是不受限制的爆炸原理不成立：一个命题及其否定未必能推出任意结论。次协调性是逻辑后承关系的性质，而不是某一种演算，也不意味着承认存在真矛盾。(plato.stanford.edu)

定义与基本区分

用 $\Gamma\vdash_L B$ 表示在逻辑 $L$ 中，$B$ 可由前提集 $\Gamma$ 推出。如果对于任意两个公式 $A$ 和 $B$，都有

则称该逻辑具有爆炸性。

如果这一条件不成立，即存在公式 $A$ 和 $B$，使得

则称该逻辑具有次协调性。

经典逻辑和标准的直觉主义逻辑都具有爆炸性。因此，仅仅拒绝排中律等经典原则，并不足以使逻辑具有次协调性。(plato.stanford.edu)

当一个理论能够推出某个陈述及其否定时，称其为不一致的；当它能够推出其语言中的每个陈述时，称其为平凡的。次协调的后承关系允许这两种情况彼此分离。这并不意味着每个不一致的理论都是非平凡的，而只是说，不一致性并不必然导致平凡性。(plato.stanford.edu)

次协调性还必须与真矛盾论区分开来；后者是一种认为某些矛盾为真的哲学观点。一种逻辑可以容纳相互冲突的报告，而不把两份报告都视为对现实的真实描述。反过来说，真矛盾论是关于真理的主张，而不仅仅是对允许哪些推理的规定。(plato.stanford.edu)

如何阻断爆炸

爆炸并不是一条可有可无的规则，不能只将它从经典演算中删除，而让其余部分保持不变。其他经典推理规则也能重新导出爆炸。例如：

1. 假设 $A$ 和 $\neg A$。
2. 由 $A$ 推出 $A\lor B$。
3. 由 $A\lor B$ 和 $\neg A$ 推出 $B$。

最后一步是选言三段论。由于 $B$ 是任意的，这一推导就确立了爆炸。因此，次协调系统必须限制上述步骤中的至少一步，或者改变这些步骤的组合方式。(iep.utm.edu)

对蕴涵的处理尤其重要。如果将实质蕴涵定义为 $A\supset B:=\neg A\lor B$，那么不受限制的肯定前件式也会重现同样的困难。因此，一些系统拒绝对这一联结词使用肯定前件式；另一些系统则引入不同的条件联结词，使其支持分离推理，却不使爆炸成立。这一选择会影响普通论证和数学证明的重构方式。(iep.utm.edu)

语义模型

一种重要方法采用多值逻辑。在贝尔纳普—邓恩逻辑中，命题具有四种状态；这种逻辑通常表述为一阶蕴涵（FDE）：

这些状态可以分别用集合 $\{t\}$、$\{f\}$、$\{t,f\}$ 和 $\varnothing$ 表示。否定会交换正面支持与负面支持。当两个合取项都有正面支持时，合取式才有正面支持；只要其中一个合取项有负面支持，合取式就有负面支持。只要其中一个析取项有正面支持，析取式就有正面支持；当两个析取项都有负面支持时，析取式才有负面支持。(consequently.org)

后承关系保持正面支持：只要每个前提都处于“仅真”或“既真又假”状态，结论也必须处于这两种状态之一。如果 $A$ 的状态是“既真又假”，而 $B$ 的状态是“仅假”，那么 $A$ 和 $\neg A$ 都取指定值，但 $B$ 不取指定值。这就给出了爆炸的一个反模型。(consequently.org)

悖论逻辑（LP）排除了“非真非假”状态，同时保留“既真又假”状态。因此，FDE 既容纳信息缺失，也容纳信息冲突；LP 则容纳信息冲突，但不允许真值空缺。这两种状态体系都不表示数值化的概率程度。(consequently.org)

主要进路

不同的次协调系统，在保留哪些经典推理以及将爆炸的来源归于何处方面各不相同。

讨论逻辑。 斯坦尼斯瓦夫·亚斯科夫斯基的方法对不同参与者提供的信息进行建模：每个参与者各自的立场可能是一致的，但他们的断言合在一起却可能相互冲突。其非合取式处理限制了从分别接受的前提不受限制地构造合取式。(arxiv.org)

基于相干性的系统。 相干逻辑要求前提与结论之间，或蕴涵的前件与后件之间存在关联。具有次协调性的相干系统拒绝从矛盾推出无关陈述，同时保留经过适当定义的条件联结词。(arxiv.org)

达科斯塔系统。 牛顿·达科斯塔的 $C_n$ 层级修改了否定的行为，并区分表现出一致性的公式与可能不具备这种性质的公式。(arxiv.org)

注释逻辑。 这类逻辑为公式附加信息，例如证据所支持的真值状态或所相信的真值状态。其推理机制既作用于注释，也作用于底层命题。(arxiv.org)

形式不一致逻辑。 形式不一致逻辑（LFI）在对象语言内部表达一致性。借助一致性算子 $\circ$，这类逻辑通常允许受控的爆炸：

而仅凭 $A,\neg A$ 则未必能推出 $B$。因此，一致性假设可以恢复那些在无条件情况下无法进行的推理。不同的 LFI 在一致性算子、否定和替换性质方面各有差异。(arxiv.org)

自适应系统。 自适应逻辑可以采用次协调的核心，同时暂且按照相关信息一致的假设进行推理。当新增前提推翻这些假设时，先前的结论可能被撤回。这引入了非单调推理，但次协调性本身并不要求非单调性。(plato.stanford.edu)

历史发展

早期两项有影响力的研究方案，是亚斯科夫斯基于 1948 年提出的讨论演算，以及达科斯塔独立发展并于 1963 年提出的系统。尽管二者的研究动机和形式方法不同，他们的工作都确立了系统地区分不一致理论与平凡理论的方法。(doi.org)

弗朗西斯科·米罗·克萨达于 1976 年创造了“次协调”（paraconsistent）一词。格雷厄姆·普里斯特在 1979 年的论文《悖论逻辑》中，将 LP 提出为处理逻辑悖论的一种方法。此后的研究发展出了多种传统，而不是一种获得普遍采用的次协调演算。(plato.stanford.edu)

应用

在知识表示与推理中，不一致的输入可能来自多个信息源、记录错误或互不相容的报告。次协调推理允许知识库保留相互冲突的信息，而不把每个查询都视为已获证实。贝尔纳普—邓恩逻辑为不完整和不一致的输入提供了尤为明确的表示方式。(plato.sydney.edu.au)

次协调系统也支持对集合论和真理理论的研究。这些理论不试图通过限制底层原则来防止一切矛盾，而是考察能否将与罗素悖论或说谎者悖论有关的矛盾控制在一定范围内，而不使整个理论平凡化。一项方案能否成功，取决于其完整的逻辑和公理体系，而不只是取决于是否拒绝爆炸。(plato.sydney.edu.au)

局限与概念问题

仅有非爆炸性并不能证明系统有用。 一个系统可能阻断了爆炸，却无法提供足够的推理来满足其预定用途。因此，比较不同系统时，需要考察其表达能力、条件联结词、证明方法，以及在适当假设下恢复普通推理的能力。(arxiv.org)

经典推理的恢复取决于具体系统。 一些方法通过一致性假设明确地恢复经典推理；另一些则需要不同的语义限制或推理限制。次协调性并不提供一种普遍适用的程序，来决定哪些信息应当保留、哪些应当舍弃。(arxiv.org)

通向平凡性的其他途径仍然可能存在。 柯里悖论可以通过自指和条件推理导出任意结论，而不依赖显式的否定矛盾。因此，非爆炸的真理理论或集合理论不仅必须处理否定，还必须处理其条件规则和结构规则。阻断爆炸并不是解决所有逻辑悖论的通用方法。(plato.stanford.edu)

参考来源

1. Paraconsistent Logic — Stanford Encyclopedia of Philosophyplato.stanford.edu
2. Paraconsistent Logic — Internet Encyclopedia of Philosophyiep.utm.edu
3. Proofs and Models in Philosophical Logicconsequently.org
4. A Survey of Paraconsistent Logicsarxiv.org
5. Logics of Formal Inconsistency enriched with replacement: an algebraic and modal accountarxiv.org
6. Non-monotonic Logic — Stanford Encyclopedia of Philosophy, Spring 2022 Editionplato.stanford.edu
7. Some remarks on two seminal approaches to paraconsistency: Stanisław Jaśkowski and Newton da Costadoi.org
8. Articles — Graham Priestgrahampriest.net
9. Many-Valued Logic — Stanford Encyclopedia of Philosophyplato.sydney.edu.au
10. Curry’s Paradox — Stanford Encyclopedia of Philosophyplato.sydney.edu.au
11. Curry’s Paradox — Stanford Encyclopedia of Philosophy, Spring 2019 Editionplato.stanford.edu