无理数

无理数是不能写成 $p/q$ 形式的实数，其中 $p$ 和 $q$ 都是整数，且 $q\ne0$。因此，无理数恰好就是所有不是有理数的实数，其集合记作 $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$。与有理数不同，无理数的小数展开既不终止，也不会从某一位起循环。无理数表示的是精确的量，而非仅仅是不精确的数值。(math.mit.edu)

小数表示

在十进制位值制记数法中，一个实数是有理数，当且仅当它的小数展开有限，或从某一位起反复出现一个固定的数字组。例如，$1/8=0.125$，而 $1/6=0.1666\ldots$。无理数的小数展开无限延续，且不会从某一位起呈现周期性。这并不意味着某个数字或有限的数字组绝不再次出现；所排除的只是某个固定数字组从某一位起一直循环。(math.mit.edu)

循环小数可以通过移动循环部分并相减，化为分数。若 $x=0.272727\ldots$，则 $100x-x=27$，所以 $x=27/99$。反过来，整数除法中可能出现的余数只有有限多个，因此小数展开必然终止或从某一位起循环。这些论证确立了用小数展开判定有理数的准则；仅考察有限的一段数字，无法断定一个数是否为无理数。(math.mit.edu)

人们熟悉的 $0.999\ldots=1$ 这一表示上的歧义，涉及的是有理数：有限小数还有另一种以无限循环的数字 9 结尾的表示方式。它并没有给出有理数的无理数表示。(math.mit.edu)

例子与一个基本证明

一个典型例子是 $\sqrt2$。在几何学中，根据勾股定理，边长为 1 的正方形的对角线长就是 $\sqrt2$。对角线与边长不可公度，也就是说，不存在一个共同的正长度，使两者的长度都是它的整数倍。$\sqrt2$ 的小数展开以 $1.414213562\ldots$ 开头。(nrich.maths.org)

标准的数学证明采用反证法。假设 $\sqrt2=p/q$，其中 $p,q$ 是互质的正整数。两边平方得

因此 $p^2$ 是偶数，进而 $p$ 也是偶数。令 $p=2k$，可得 $q^2=2k^2$，所以 $q$ 也是偶数。这与该分数已经约分至最简形式的假设矛盾。因此，$\sqrt2$ 是无理数。(math.mit.edu)

更一般地，一个正的自然数的平方根是无理数，除非这个数是完全平方数。另一个重要的例子是圆周率，即圆的周长与直径之比。证明它的无理性，需要采用不同于平方根初等证明的方法。(nrich.maths.org)

算术性质

并非每一种算术运算都能保持无理性。两个无理数的和或积可能是有理数：

因此，无理数在通常的运算下不构成域（数学）。相比之下，有理数和实数在通常的运算下都构成域。(im.kendallhunt.com)

有理数与无理数相加，结果一定是无理数。无理数乘以非零有理数，结果也仍是无理数。例如，若有理数 $r\ne0$，且 $rx$ 是有理数，那么 $x=(rx)/r$ 也会是有理数，这与 $x$ 为无理数的假设矛盾。乘数必须非零这一限制不可缺少。(dpmms.cam.ac.uk)

代数无理数与超越无理数

代数数是某个有理系数非零多项式的根，等价地，也可以定义为某个整数系数非零多项式的根。$\sqrt2$ 是代数数，因为它满足 $x^2-2=0$。不满足任何此类多项式方程的无理实数称为超越数。因此，无理数可以分为代数无理数和超越实数。(math.mit.edu)

这些分类回答的是不同的问题。无理性排除了将一个数表示为整数之比的可能；超越性则排除了上述类型的一切多项式关系。特别是，无理性并不意味着超越性，$\sqrt2$ 就是一个例子。(math.mit.edu)

集合大小与分布

在集合论中，有理数构成可数集，而实数集是不可数的。由于两个可数集的并集仍然可数，无理数集必然不可数。不存在一个能够列出所有无理实数的序列。这一区别涉及无穷集合的大小，而非其中元素的数值大小。(math.mit.edu)

有理数集和无理数集都是实数轴上的稠密集：每个非空开区间都包含这两类数。因此，稠密性并不意味着可数性，而且这两类数都不会各自占据数轴上单独的一段连续区间。(math.mit.edu)

在勒贝格测度下，有理数集的测度为零。因此，在任意区间内，无理数集的测度都等于该区间的全部测度。这就是从测度论角度说实数几乎处处为无理数的确切含义，尽管有理数集也是稠密的。(ocw.mit.edu)

近似与理论基础

无理数可以用有理数以任意高的精度逼近，却不等于其中任何一个。连分数提供了尤为有用的近似；对于 $\sqrt2$，依次得到的近似值包括 $3/2$、$7/5$、$17/12$ 和 $41/29$。有限的近似值仍然是有理数，而其极限可以是无理数。(nrich.maths.org)

19 世纪建立的严谨理论基础将无理数纳入了实数体系。理查德·戴德金于 1872 年发表的构造，通过有序有理数集上的戴德金分割来表示实数。另一种构造则使用由有理数构成的柯西序列的等价类。这些方法为算术运算和大小关系奠定了精确的基础，而无需预先依赖对无理数长度的几何解释。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)