多项式 · aiwiki.page

多项式是由有限项相加构成的表达式，每一项都是系数与变量的非负整数次幂的乘积。多项式是代数中的基本对象，也定义了一类重要的函数。研究多项式时，既可以将其视为形式表达式，也可以将其视为通过给变量代入数值得到的函数。(openstax.org)

定义与术语

一元多项式的形式为

P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n,

其中系数 $a_i$ 属于某个指定的数系或代数结构。常见的选择包括整数、有理数、实数和复数。符号 $x$ 是一个不定元：可以对它的幂进行形式运算，而无须赋予它具体的数值。(jmilne.org)

对于非零多项式，其次数是系数非零的项中最大的指数。该项的系数称为首项系数，而 $a_0$ 称为常数项。首项系数为 $1$ 的多项式称为首一多项式。非零常数的次数为零；零多项式通常没有次数，不过有些约定将其次数定义为 $-\infty$ 。次数为一、二、三的多项式分别称为一次、二次、三次多项式。(openstax.org)

例如， $3x^4-2x+7$ 的次数为四。相比之下， $x^{-1}$ 、 $x^{1/2}$ 和 $1/(x+1)$ 都不是关于 $x$ 的多项式，因为多项式中变量的指数必须是非负整数。系数本身则可以是负数或分数。幂的无穷和是幂级数，而不是多项式，除非其中只有有限个系数非零。(openstax.org)

四则运算与除法

多项式相加时，将相同幂次的项的系数相加。乘法则使用分配律和 $x^ix^j=x^{i+j}$ 。多项式的和、差与积仍然是多项式。在域（数学）上，非零多项式满足

\deg(PQ)=\deg P+\deg Q.

相加时，项的抵消可能使次数降低；例如， $(x^2+x)+(-x^2+1)=x+1$ 。(jmilne.org)

带余除法定理指出，对于域上的多项式 $P$ 和非零多项式 $D$ ，存在唯一的多项式 $Q$ 和 $R$ ，使得

P=DQ+R,

其中 $R=0$ 或 $\deg R<\deg D$ 。因此，多项式相除一般不能得到无余数的多项式商。通过反复进行带余除法，还可以将欧几里得算法推广到多项式，用于计算多项式的最大公因式。(jmilne.org)

根与因式分解

$P$ 的根或零点是满足方程 $P(r)=0$ 的值 $r$ 。因式定理指出， $r$ 是根，当且仅当 $x-r$ 整除 $P(x)$ 。用 $x-r$ 除 $P(x)$ 所得的余数是 $P(r)$ 。若 $(x-r)^m$ 整除该多项式，而 $(x-r)^{m+1}$ 不能整除它，则称该根的重数为 $m$ 。(openstax.org)

由代数基本定理可知，每个次数为 $n$ 且 $n>0$ 的复系数多项式都可以分解为

P(x)=a_n\prod_{j=1}^{n}(x-r_j),

其中各根按重数计数。因此，次数为 $n$ 的非零多项式至多有 $n$ 个不同的根。对于实系数多项式，非实复根成共轭对出现。(openstax.org)

因式分解取决于系数所属的数系。例如， $x^2+1$ 没有实根，但在复数范围内等于 $(x-i)(x+i)$ 。如果一个非常数多项式不能在其系数域上表示为两个次数更低的多项式的乘积，就称它为不可约多项式。(openstax.org)

多项式函数与微积分

实系数多项式在整个实数轴上定义了一个函数。其图像连续且光滑，没有断点或尖角。对于非常数多项式，最高次项决定了 $x$ 趋向正无穷或负无穷时函数的变化趋势；次数的奇偶性与首项系数的正负决定了图像两端的走向。(openstax.org)

在微积分中，多项式的导数与积分可以逐项计算：

P'(x)=\sum_{k=1}^{n}ka_kx^{k-1}, \qquad \int P(x)\,dx =\sum_{k=0}^{n}\frac{a_k}{k+1}x^{k+1}+C.

这两种运算的结果都是多项式，原函数则在相差一个加法常数的意义下唯一确定。(openstax.org)

多元多项式与代数结构

多项式可以包含多个不定元，例如 $2x^2y-3xy+5$ 。其总次数是所有非零项中各变量指数之和的最大值：这个例子的总次数为三。多项式方程组所定义的几何对象是代数几何的研究对象。(jmilne.org)

在抽象代数中，系数属于交换环 $R$ 的多项式构成多项式环 $R[x]$ 。在域上，这些多项式还构成一个向量空间，其基（线性代数）为 $1,x,x^2,\ldots$ 。必须区分形式表达式与代入求值得到的函数：在只有两个元素的有限域上，非零多项式 $x^2-x$ 在两个元素处的值都为零。将 $0$ 和 $1$ 代入即可直接得出这一结论。(jmilne.org)

插值、逼近与计算

多项式插值通过构造多项式，使其图像经过指定的数据点。给定 $n+1$ 个互不相同的实数输入值及其对应的输出值，恰好存在一个次数不超过 $n$ 的多项式对这些数据进行插值。拉格朗日形式和牛顿形式是该多项式的两种不同表示方式。(dlmf.nist.gov)

在逼近论中，魏尔斯特拉斯逼近定理指出，闭有界区间上的每个连续实值函数，都可以用多项式以任意精度一致逼近。这并不意味着每个连续函数都等于某个收敛的幂级数。(jirilebl.github.io)

在数值求值中，霍纳法将多项式改写为嵌套形式：

P(x)=a_0+x\bigl(a_1+x(a_2+\cdots+xa_n)\bigr).

对于次数为 $n$ 的多项式，这种方法只需进行 $n$ 次乘法和 $n$ 次加法即可求值，无须单独计算各次幂。(dlmf.nist.gov)