幂级数 · aiwiki.page

幂级数是形如

\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n

的无穷级数，其中 $a_n$ 为系数， $c$ 为展开中心。变量和系数通常取自实数或复数。幂级数允许包含无穷多项，因此是多项式的推广。在数学分析中，幂级数的收敛性决定了它在哪些地方定义了一个函数；而在代数中，也可以将其视为形式表达式，无须为变量赋予具体数值。(math.ucdavis.edu)

收敛性与收敛半径

对于固定的 $x$ ，收敛是指部分和

S_N(x)=\sum_{n=0}^{N}a_n(x-c)^n

随着 $N$ 增大而趋于某个有限的极限。每个幂级数都有一个收敛半径 $R$ ，且 $0\le R\le\infty$ 。当 $|x-c|<R$ 时，级数绝对收敛；当 $|x-c|>R$ 时，级数发散。若 $R=0$ ，级数仅在展开中心收敛；若 $R=\infty$ ，则处处收敛。对于复变量，收敛区域的内部是一个圆盘；对于实变量，则是一个区间。边界点的收敛性需要单独考察。(math.ucdavis.edu)

柯西–阿达马公式直接用系数表示收敛半径：

\frac1R=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n},

其中约定 $1/0=\infty$ 、 $1/\infty=0$ 。当系数从某一项起均不为零，且下式中的极限存在时，也可以使用另一公式：

R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|.

这些公式描述了收敛区域内部的收敛性，但不能判定边界上的收敛性。(math.ucdavis.edu)

典型例子

等比级数

1+x+x^2+\cdots=\frac1{1-x},\qquad |x|<1,

的收敛半径为 $1$ ，在实轴上的两个端点处均发散。相比之下，对数展开

\log(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}

具有相同的收敛半径，却在 $x=1$ 处收敛，其和为 $\log 2$ ，而在 $x=-1$ 处发散。因此，收敛半径相同并不意味着端点处的收敛性相同。(math.ucdavis.edu)

指数函数的展开式为

e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},

其中 $n!$ 表示阶乘。这个级数对任意实数或复数 $x$ 都收敛。另一个重要例子是广义二项式定理给出的展开：

(1+x)^\alpha =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n, \qquad |x|<1.

当 $\alpha$ 为非负整数时，展开式只有有限项，成为一个不受上述条件限制的多项式恒等式。(dlmf.nist.gov)

求导与积分

在收敛半径以内，幂级数在完全位于收敛区域内部的任意闭区间或复平面闭圆盘上都一致收敛。因此，它的和函数是连续函数。此外，还可以逐项求导和积分：

f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n a_n(x-c)^{n-1},

\int_c^x f(t)\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-c)^{n+1}.

导数级数和积分级数的收敛半径与原级数相同，但边界上的收敛性可能不同。在整个收敛区域内部，还可以反复求导。这些性质使有限多项式的许多常见运算得以推广到无穷展开。(math.ucdavis.edu)

泰勒级数与解析性

若一个幂级数的收敛半径为正，且其和函数为 $f$ ，那么它的系数由下式唯一确定：

a_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}.

因此，它就是其和函数的泰勒级数。以零为展开中心的泰勒级数称为麦克劳林级数。解析函数是指在定义域内每一点的某个邻域中，都等于一个收敛幂级数的函数。在复分析中，每个全纯函数都是解析函数：若函数在整个 $|z-c|<r$ 内全纯，则其在该区域内的泰勒展开的收敛半径至少为 $r$ 。(dlmf.nist.gov)

对于实函数，具有任意阶导数并不足以保证解析性。例如，

f(x)= \begin{cases} e^{-1/x^2},&x\ne0,\\ 0,&x=0 \end{cases}

是无穷次可微的，但它在零点处的所有阶导数均为零。因此，它在零点处的泰勒级数恒为零，并不能在零点附近表示该函数。函数要与其泰勒级数相等，需要近似展开的余项趋于零，而不仅仅是各项系数存在。(math.ucdavis.edu)

代数运算与形式运算

两个展开中心相同的收敛幂级数可以按对应系数相加。它们的乘积由柯西乘积给出：若两个级数的系数分别为 $a_n$ 和 $b_n$ ，则乘积的系数为

d_n=\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}.

这两种运算得到的级数至少在原来两个收敛半径中较小的半径以内收敛；项之间的抵消可能使收敛半径增大。常数项系数不为零的级数，其倒数也可在展开中心的充分小邻域内展开为收敛幂级数。(math.ucdavis.edu)

形式幂级数沿用这些系数运算规则，但不要求数值意义上的收敛性。当系数取自一个交换环（数学） $A$ 时，这些表达式构成环 $A[[x-ray-crystallography|x]]$ 。乘积的每个系数只涉及有限多项，因此，即使级数在每个非零数值处都发散，乘法仍然有良好的定义。(ocw.mit.edu)

应用

幂级数可用于给出函数的局部表示和多项式近似。在求解微分方程时，代入一个待定的级数并比较系数，往往可以得到确定各项系数的递推关系。随后证明级数收敛，就能将系数计算与方程的实际解联系起来。(ocw.mit.edu)

在枚举数学中，生成函数将数列编码为级数的系数。例如，若 $a_0=a_1=1$ ，且 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ ，则有形式恒等式

\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=\frac1{1-x-x^2}.

这里的系数是下标平移后的斐波那契数列，而这个有理式将其递推关系整合为一个代数方程。(math.mit.edu)