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数学 / infinite-series

无穷级数

无穷级数是按指定顺序对无穷多项求和的表达式；当有限部分和趋于极限时，该极限就是其通常意义下的和。

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无穷级数是将一个无穷数列的各项按指定顺序相加所形成的表达式。如果有限部分和的极限存在，就将这一极限定义为级数在通常意义下的和。无穷级数提供了一种由无穷多项得到有限值的方法，但也可能发散。级数的收敛性及其运算是微积分和数学分析的核心研究内容。(openstax.org)

定义与收敛性

对于由实数或复数组成的数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots，相应的级数记为

∑n=1∞an=a1+a2+a3+⋯ .\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+\cdots.

它的第 NN 个部分和为

SN=∑n=1Nan.S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n.

如果当 N→∞N\to\infty 时 SN→SS_N\to S，就称该级数收敛于 SS。更准确地说，对每个 ε>0\varepsilon>0，都必须存在一个指标 N0N_0，使得只要 N≥N0N\ge N_0，就有 ∣SN−S∣<ε|S_N-S|<\varepsilon。否则，称该级数发散。因此，无穷求和是一个取极限的过程，而不是把末项置于无穷远处的有限加法。(openstax.org)

级数与组成它的各项所构成的数列必须加以区分。由于 an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1}，∑an\sum a_n 收敛必然意味着 an→0a_n\to0，但反过来并不成立：各项可以趋于零，而累加所得的和却无限增长。级数也可能因振荡而发散，并非只有无界增长这一种情形。(openstax.org)

柯西收敛准则无须预先知道级数的和，就能刻画其收敛性。实数或复数级数收敛，当且仅当对每个 ε>0\varepsilon>0，从足够靠后的项开始截取的任意有限尾段都满足

∣∑n=pqan∣<ε(q≥p).\left|\sum_{n=p}^{q}a_n\right|<\varepsilon \qquad(q\ge p).

等价地说，其部分和构成一个柯西序列。这一准则通过控制尾段和的大小，为级数的严格处理奠定了基础。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

基本例子

等比级数

等比级数的相邻两项之比为常数：

∑n=0∞arn.\sum_{n=0}^{\infty}ar^n.

当 r≠1r\ne1 时，从首项到 n=Nn=N 项的部分和为

a1−rN+11−r.a\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.

因此，

∑n=0∞arn=a1−r当 ∣r∣<1 时.\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=\frac{a}{1-r} \qquad\text{当 }|r|<1\text{ 时}.

若 a≠0a\ne0，则当 ∣r∣≥1|r|\ge1 时级数发散。特别地，

1+12+14+18+⋯=2.1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2.

当 a=0a=0 时得到的零级数，是上述发散结论的一个平凡例外。(openstax.org)

调和级数与 pp 级数

调和级数

∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n

虽然满足 1/n→01/n\to0，却仍然发散。更一般地，对于实数 pp，pp 级数

∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}

收敛当且仅当 p>1p>1。这些级数是使用比较判别法时的常见参照。(openstax.org)

对于复参数 ss，相关表达式

ζ(s)=∑n=1∞n−s\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}

在区域 Re⁡(s)>1\operatorname{Re}(s)>1 内定义了黎曼ζ函数。要在该区域之外定义这一函数，就需要超出此收敛级数表示的范围，对其进行延拓。(dlmf.nist.gov)

裂项相消级数

在裂项相消级数中，各项的相互抵消使部分和变得格外简单。例如，

∑n=1N1n(n+1)=∑n=1N(1n−1n+1)=1−1N+1.\sum_{n=1}^{N}\frac1{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{N}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right) = 1-\frac1{N+1}.

取极限可得

∑n=1∞1n(n+1)=1.\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+1)}=1.

相消运算首先在有限部分和中进行，从而避免预先假定无穷表达式可以像有限表达式一样运算。(openstax.org)

绝对收敛与条件收敛

如果一个级数满足

∑n=1∞∣an∣<∞,\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|<\infty,

就称它绝对收敛。绝对收敛蕴含通常意义下的收敛。如果一个级数收敛，但由各项绝对值组成的级数发散，就称它条件收敛。这些区别归于绝对收敛与条件收敛这一主题。(openstax.org)

交错调和级数是条件收敛的典型例子：

1−12+13−14+⋯=ln⁡2.1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\ln2.

正负号交替带来的抵消足以使它收敛，而相应的正项调和级数却发散。(openstax.org)

改变各项顺序时，绝对收敛尤为重要：绝对收敛的实数或复数级数，无论怎样重排，其和都不变。条件收敛则没有这样的保证。黎曼重排定理指出，条件收敛的实数级数可以通过重排，收敛到任意指定的实数，也可以变得发散。因此，求和顺序是条件收敛级数含义的一部分。(openstax.org)

收敛判别法

大多数级数的部分和都没有便于使用的公式。收敛判别法可以判定级数收敛或发散，而不一定需要求出其和。

  • **通项判别法：**如果 ana_n 不趋于零，则 ∑an\sum a_n 发散。如果 an→0a_n\to0，则这一判别法无法得出结论。(openstax.org)
  • **比较判别法：**如果从某一项起 0≤an≤bn0\le a_n\le b_n，且 ∑bn\sum b_n 收敛，则 ∑an\sum a_n 收敛。如果从某一项起 an≥bn≥0a_n\ge b_n\ge0，且 ∑bn\sum b_n 发散，则 ∑an\sum a_n 发散。(openstax.org)
  • **极限比较判别法：**对于从某一项起均为正数的项，若 an/bn→La_n/b_n\to L，且 0<L<∞0<L<\infty，则两个级数同时收敛或同时发散。(openstax.org)
  • **积分判别法：**如果 an=f(n)a_n=f(n)，且 ff 在自变量充分大时为正、连续并单调递减，则 ∑an\sum a_n 与相应的反常积分具有相同的收敛性。(openstax.org)

比值判别法假定各项从某一项起均不为零，并考察

L=lim⁡n→∞∣an+1an∣.L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.

如果 L<1L<1，则级数绝对收敛；如果 L>1L>1，则级数发散。当 L=1L=1 时，该判别法无法得出结论。根值判别法类似地考察 lim⁡n→∞∣an∣1/n\lim_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}；在这一极限存在时，结论与比值判别法相同。这些判别法用于识别类似等比数列的衰减或增长。(openstax.org)

对于交错级数

∑n=1∞(−1)n−1bn,\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n,

如果 bn≥0b_n\ge0、bnb_n 从某一项起单调不增，且 bn→0b_n\to0，则交错级数判别法保证该级数收敛。这只能确立收敛性，并不一定意味着绝对收敛。(openstax.org)

函数项级数

当各项为函数时，级数的形式为 ∑fn(x)\sum f_n(x)。逐点收敛是指在每一点处，相应的数项级数分别收敛。一致收敛要求部分和趋近其极限函数时，存在一个对指定定义域内所有点同时适用的误差界。如果处处有 ∣fn(x)∣≤Mn|f_n(x)|\le M_n，且 ∑Mn\sum M_n 收敛，则魏尔斯特拉斯 MM 判别法保证函数项级数一致收敛。(dlmf.nist.gov)

幂级数的形式为

∑n=0∞cn(x−a)n.\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n.

它具有一个收敛半径 RR，其值可能为零或无穷大：当 ∣x−a∣<R|x-a|<R 时绝对收敛，当 ∣x−a∣>R|x-a|>R 时发散。边界点处的收敛性需要单独分析。(openstax.org)

泰勒级数的系数由函数的各阶导数确定：

∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)n.\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.

当 a=0a=0 时，称为麦克劳林级数。例如，指数函数可以表示为

ex=∑n=0∞xnn!.e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.

函数具有任意阶导数，本身并不能保证它等于其泰勒级数；要使二者相等，还要求泰勒余项趋于零。(openstax.org)

傅里叶级数则用正弦、余弦项或复指数项来展开函数。它的收敛性可能取决于所考察的点，以及所采用的收敛类型。在跳跃间断点附近，部分和可能出现持续存在的过冲，这称为吉布斯现象。(dlmf.nist.gov)

近似与误差界

对于和为 SS 的收敛级数，截取前 NN 项可得到近似值 SNS_N，其余项为

RN=S−SN.R_N=S-S_N.

收敛性保证 RN→0R_N\to0，但要进行有实际用途的计算，还需要知道余项的大小。在满足交错级数判别法条件时，

∣RN∣≤bN+1.|R_N|\le b_{N+1}.

因此，第一个被省略项的绝对值给出了截断误差的上界。(openstax.org)

对于满足 an=f(n)a_n=f(n) 的正值单调递减函数，积分判别法的余项估计为

∫N+1∞f(x) dx≤RN≤∫N∞f(x) dx.\int_{N+1}^{\infty}f(x)\,dx \le R_N \le \int_N^{\infty}f(x)\,dx.

例如，将这些界用于 ∑n−2\sum n^{-2}，可得其余项介于 1/(N+1)1/(N+1) 与 1/N1/N 之间。这说明，仅有收敛性并不意味着能迅速获得数值近似。(openstax.org)

在数值分析中，收敛加速方法将部分和变换为一个新数列，目的是使其更快地趋近同一极限。保极限变换必须在规定的收敛条件成立时保持原有极限不变。(visiblecement.nist.gov)

发散级数与广义求和

发散级数没有通常意义下的有限和，但指定的求和法可能赋予它一个广义值。这类方法必须与部分和的收敛区分开来。如果一种求和法对其适用的每个收敛级数都给出与通常求和相同的结果，就称它为正则求和法。(dlmf.nist.gov)

例如，切萨罗求和法考察部分和的算术平均。对于

1−1+1−1+⋯ ,1-1+1-1+\cdots,

其部分和在 11 与 00 之间交替，因此该级数在通常意义下发散。部分和的算术平均趋于 1/21/2，因而其切萨罗和为 1/21/2。这并不意味着原来的部分和数列变得收敛。(dlmf.nist.gov)

渐近展开是级数记号的另一种不同用法。它旨在描述参数趋于指定极限时的近似关系；固定该参数后，无穷展开未必收敛。不过，有限截断仍然可以提供有用的近似。(dlmf.nist.gov)

历史发展

级数理论的一项重大进展，是系统地区分收敛级数与对发散表达式的形式运算。奥古斯丁-路易·柯西在1821年的《分析教程》中给出了收敛和绝对收敛的定义，并提出了基于极限和尾段行为的判别准则。他的工作推动了严格理论框架的建立：无穷运算的有效性必须加以证明，而不能仅凭相应的有限代数运算来推断。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

参考来源

  1. 2 Infinite Series — Calculus Volume 2openstax.org
  2. Ch. 5 Introduction — Calculus Volume 2openstax.org
  3. Ch. 5 Key Concepts — Calculus Volume 2openstax.org
  4. Ch. 5 Key Terms — Calculus Volume 2openstax.org
  5. 3 The Divergence and Integral Tests — Calculus Volume 2openstax.org
  6. 4 Comparison Tests — Calculus Volume 2openstax.org
  7. 5 Alternating Series — Calculus Volume 2openstax.org
  8. 6 Ratio and Root Tests — Calculus Volume 2openstax.org
  9. 1 Power Series and Functions — Calculus Volume 2openstax.org
  10. 3 Taylor and Maclaurin Series — Calculus Volume 2openstax.org
  11. DLMF §1.9 Calculus of a Complex Variabledlmf.nist.gov
  12. DLMF §25.2 Definition and Expansionsdlmf.nist.gov