柯西序列是指各项在足够靠后时彼此任意接近的序列。在数学分析中，它提供了一种研究收敛性的方法，无须事先确定可能的极限。其定义条件比较的是序列各项之间的距离，而不是各项与某个假定极限点之间的距离。如果一个空间中的每个柯西序列都收敛到该空间内的某个点，就称这个空间是完备的。(live.ocw.mit.edu)
定义
设 ((X,d)) 是一个度量空间，((x_n)_{n=1}^{\infty}) 是 (X) 中的点列。若满足
[ \forall\varepsilon>0;\exists N\in\mathbb N; \forall m,n\ge N,\qquad d(x_m,x_n)<\varepsilon, ]
则称该序列为柯西序列。
这里的 (N) 可以依赖于 (\varepsilon)，但同一个 (N) 必须适用于满足 (m,n\ge N) 的每一对下标。因此，序列的整个尾部中，任意两项之间的距离都必须能够任意小。对于任意固定的有限个初始项，则不施加任何条件。(live.ocw.mit.edu)
[ |x_m-x_n|<\varepsilon\qquad(m,n\ge N). ]
在赋范向量空间中，距离由两项之差的范数来度量，因此条件变为 (|x_m-x_n|<\varepsilon)。所以，只要指定了适当的度量，这一概念就适用于数、向量和函数。(jirka.org)
与收敛性的关系
度量空间中的每个收敛序列都是柯西序列。若 (x_n\to x)，则可选取 (N)，使得只要 (n\ge N)，就有 (d(x_n,x)<\varepsilon/2)。由三角不等式可得
[ d(x_m,x_n) \le d(x_m,x)+d(x,x_n) <\varepsilon. ]
反之则未必成立：各项彼此接近，并不能保证它们所在的空间包含序列所趋近的那个点。(live.ocw.mit.edu)
按照定义，完备度量空间就是每个柯西序列都收敛的度量空间。(\mathbb R)、(\mathbb C)，以及采用欧几里得距离的有限维欧几里得空间都是完备的。因此，在这些空间中，柯西收敛准则可以完全通过序列各项之间的比较来刻画收敛性。(ocw.mit.edu)
每个柯西序列都是有界的，其每个子序列也都是柯西序列。此外，如果一个柯西序列有收敛的子序列，那么整个序列都收敛到同一个极限。这些性质说明，柯西条件不仅能检验一个已知的结果，还能用于证明极限的存在性。(jirka.org)
例子与反例
序列 (x_n=1/n) 是 (\mathbb R) 中的柯西序列。事实上，对于 (m,n\ge N)，有
[ \left|\frac1m-\frac1n\right|\le\frac1N, ]
而右侧可以任意小。该序列收敛到 (0)。如果将同一个序列视为取值于 ((0,1]) 的序列，并在这个空间上采用继承自 (\mathbb R) 的度量，那么它仍是柯西序列，却在该空间内没有极限。因此，完备性既涉及距离，也涉及空间中有哪些点。(ocw.mit.edu)
另一个例子是将 (\sqrt2) 的小数展开逐位截断得到的序列：
[ 1,\quad1.4,\quad1.41,\quad1.414,\quad\ldots ]
这些数构成一个有理数柯西序列，但它们在实数中的极限是一个无理数。因此，采用通常度量的 (\mathbb Q) 并不完备。这说明了柯西序列在区分有理数系与实数系时所起的作用。(webspace.maths.qmul.ac.uk)
仅有有界性并不足够：((-1)^n) 虽然有界，却不是柯西序列，因为无论下标多大，总能找到距离为 (2) 的两项。同样，条件 (|x_{n+1}-x_n|\to0) 也不够。调和级数的相邻部分和之差趋于零，但
[ \sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k\ge\frac12. ]
因此，在任意靠后的部分和中，总有某些对之间的距离不小于一个固定的正数。这些例子直接说明，条件必须涵盖所有足够靠后的项对，而不能只考虑相邻项。(jirka.org)
空间的完备化
柯西序列为度量空间的度量完备化提供了一种标准构造。当两个柯西序列 ((x_n)) 和 ((y_n)) 满足
[ d(x_n,y_n)\longrightarrow0 ]
时，规定它们等价。
这定义了一个等价关系。两个序列所属等价类之间的距离定义为
[ \widehat d([x_n],[y_n]) =\lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n). ]
由此得到的空间是完备的。将原空间中的每个点对应到以该点为各项的常值序列，就能把原空间嵌入这个完备空间；其像是完备化空间中的一个稠密集。在保持这一嵌入的等距双射意义下，完备化是唯一的。(ocw.mit.edu)
对采用通常绝对值距离的有理数空间应用这一构造，就得到实数。赋范空间的完备化得到巴拿赫空间，而内积空间在其诱导范数下的完备化得到希尔伯特空间。这些构造在泛函分析中具有核心地位。(ocw.mit.edu)
函数序列与迭代方法
对于闭有界区间上的连续函数，上确界范数度量的是两个函数之间的最大差异。一个函数序列在此范数下是柯西序列，当且仅当
[ \forall\varepsilon>0;\exists N; \forall m,n\ge N;\forall t\in[a,b], \quad |f_m(t)-f_n(t)|<\varepsilon. ]
一致柯西准则刻画了实值函数序列的一致收敛。空间 (C([a,b])) 在上确界范数下是完备的，因此其中的柯西序列一致收敛到一个连续函数。(ocw.mit.edu)
柯西估计也是巴拿赫不动点定理的基础。对于压缩系数为 (0\le q<1) 的压缩映射 (T)，迭代 (x_{n+1}=T(x_n)) 在 (m>n) 时满足
[ d(x_m,x_n) \le \frac{q^n}{1-q},d(x_1,x_0). ]
这一几何衰减的上界证明了迭代序列是柯西序列。因此，在非空完备度量空间中，该序列收敛到 (T) 的唯一不动点。(jirka.org)