一致连续性

一致连续性是函数的一种性质，比通常的连续性更强：它要求在整个定义域内以统一的方式控制输出之差。对于任意给定的正的输出容许误差，都必须存在一个正的输入容许误差，对定义域内的每一对点都适用。与通常的连续性不同，这个输入容许误差不能依赖于点的位置。该定义适用于度量空间之间的函数。(jirka.org)

定义及其与连续性的区别

设 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$ 为度量空间。如果函数 $f:X\to Y$ 满足

就称 $f$ 一致连续。

对于定义在实数的某个子集上的实值函数，这一条件变为

数值 $\delta$ 可以依赖于 $\varepsilon$、函数以及所选的定义域和度量，但不能依赖于 $x$ 或 $y$。(jirka.org)

对于连续函数，相应的量词顺序为

此时，$\delta$ 可以依赖于 $x$。因此，一致连续必然连续，但连续未必一致连续。二者的区别在于能否对整个定义域进行统一控制，而不只是考察每个点附近的行为。(jirilebl.github.io)

将定义取否定，可以得到一个实用的判别条件：函数不一致连续，当且仅当存在某个 $\varepsilon_0>0$，使得对于每个 $\delta>0$，都能找到定义域内的两个点，其输入距离小于 $\delta$，但输出距离至少为 $\varepsilon_0$。(jirilebl.github.io)

示例及对定义域的依赖

以下示例展示了不同的情形；其中列出的估计式可直接验证一致连续性的定义或其否定。(jirilebl.github.io)

• 线性函数。 若 $f(x)=ax+b$，则

  $$|f(x)-f(y)|=|a|\,|x-y|.$$

  当 $a\ne0$ 时，取 $\delta=\varepsilon/|a|$，即可证明它在整个 $\mathbb R$ 上一致连续。常值函数也一致连续。

• 平方函数。 函数 $f(x)=x^2$ 在 $\mathbb R$ 上连续，但不一致连续。令

  $$x_n=n,\qquad y_n=n+\frac1n.$$

  则 $|x_n-y_n|=1/n\to0$，而

  $$|y_n^2-x_n^2|=2+\frac1{n^2}.$$

  不过，在任意有界区间上，利用因式分解

  $$|x^2-y^2|=|x-y|\,|x+y|$$

  就能得到统一的估计。

• 缺失端点附近的倒数函数。 在 $(0,1)$ 上，$f(x)=1/x$ 连续但不一致连续。对 $n\ge2$，取 $x_n=1/n$ 和 $y_n=1/(n+1)$，则输入距离趋于零，而输出之差始终为 $1$。

• 平方根函数。 在 $[0,\infty)$ 上，

  $$|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le\sqrt{|x-y|}.$$

  因此，取 $\delta=\varepsilon^2$ 对所有点都适用。一致连续性并不要求定义域有界、函数有界或导数有界。

将一致连续函数限制在较小的定义域上，仍然保持一致连续性。扩大其定义域则可能使它不再一致连续，平方函数的例子就说明了这一点。(jirka.org)

紧致性与海涅–康托尔定理

**海涅–康托尔定理**指出，从紧空间（带有度量）到任意度量空间的每个连续函数都一致连续。特别地，闭有界区间 $[a,b]$ 上的每个连续实值函数都一致连续。(jirka.org)

利用序列的证明可以说明紧致性的作用。如果函数不一致连续，就存在序列 $x_n,y_n$，满足

由紧致性，可取出子序列 $x_{n_k}\to x$。相应的 $y_{n_k}$ 也趋于 $x$。连续性迫使两个像序列的相应子序列都趋于 $f(x)$，这与它们之间的距离始终不小于某个固定正数矛盾。(jirilebl.github.io)

紧致性是充分条件，而非必要条件：线性函数在非紧的定义域 $\mathbb R$ 上也一致连续。另一方面，仅有定义域的有界性并不足够，$(0,1)$ 上的 $1/x$ 就是反例。(jirka.org)

定量的充分条件

**利普希茨连续性**提供了一个更强的定量条件。如果存在常数 $L\ge0$，使得对所有 $x,y$ 都有

则 $f$ 一致连续。当 $L>0$ 时，可以取 $\delta=\varepsilon/L$。(jirilebl.github.io)

对于区间上的可微实函数，若有统一的界 $|f'(x)|\le M$，则由中值定理可得到利普希茨估计。这是充分条件，而非必要条件：上面的平方根估计已经证明了平方根函数一致连续，尽管它的导数在趋近零时无界。(jirka.org)

更一般地，如果在整个定义域上满足估计

就称函数具有 霍尔德连续性。取

即可证明一致连续性。这说明，明确的输出变化速率可以给定性的 $\varepsilon$–$\delta$ 要求提供更强的定量描述。(math.rice.edu)

柯西序列与延拓

一致连续函数将柯西序列映为柯西序列。给定输出容许误差 $\varepsilon$，选取与之对应的统一输入容许误差 $\delta$。柯西序列中足够靠后的任意两项之间的距离都小于 $\delta$，因此相应像序列中任意两项之间的距离都小于 $\varepsilon$。(jirka.org)

由此可得一个延拓定理。若 $A$ 是度量空间 $X$ 中的稠密集，$Y$ 是完备度量空间，且 $f:A\to Y$ 一致连续，则 $f$ 存在唯一的一致连续延拓 $F:X\to Y$。对于满足 $a_n\in A$ 且 $a_n\to x$ 的序列，定义

完备性保证该极限存在，而一致连续性保证它与所选的逼近序列无关。(math.uwaterloo.ca)

特别地，取值于完备度量空间的一致连续映射，可以唯一地延拓到其定义域的度量完备化上。对于有限的实数端点 $a<b$，函数 $(a,b)\to\mathbb R$ 一致连续，当且仅当它可以连续延拓到 $[a,b]$ 上。(leanprover-community.github.io)

极限与积分

一致连续性不同于一致收敛：前者比较同一个函数在不同输入处的值，后者则比较不同函数在同一个输入处的值。不过，一致连续函数列的一致极限仍然一致连续。(leanprover-community.github.io)

证明利用了三角不等式：

一致收敛使第一项和第三项在整个定义域上一致地变小；选取一个合适的 $f_n$，其一致连续性便可控制中间项。这里不需要为所有 $f_n$ 选取同一个 $\delta$。(leanprover-community.github.io)

一致连续性也是证明 $[a,b]$ 上的连续函数存在黎曼积分的基础。足够精细的分割可以使函数在每个子区间上的振幅同时变小，从而使上和与下和之差任意小。(ocw.mit.edu)

对度量的依赖与一致空间

通常的连续性只依赖于度量所诱导的拓扑学结构。一致连续性则可以区分诱导相同拓扑的不同度量。例如，在 $\mathbb R$ 上，度量

诱导相同的拓扑。从 $(\mathbb R,d)$ 到 $(\mathbb R,\rho)$ 的恒等映射一致连续，但反方向的映射不一致连续：$n$ 与 $n+1$ 在 $\rho$ 下的距离趋于零，而在 $d$ 下的距离始终为 $1$。(homepages.ecs.vuw.ac.nz)

更一般的框架是 一致空间，它规定了一种统一的接近关系，而不一定使用度量。在这一框架中，一致连续性意味着：对于目标空间中任意指定的接近程度，都存在源空间中的某种接近程度，使所有点对只要满足后者，其像就必定满足前者。这一框架保留了一致连续性、柯西性质与完备化之间的联系。(leanprover-community.github.io)

参考来源

1. RA Continuous functionsjirka.org
2. RA Uniform continuityjirilebl.github.io
3. Basic Analysis Ijirka.org
4. MIT18_100af20_lec17.pdfocw.mit.edu
5. Kenneth R. Davidson, Allan P. Donsig: Real Analysis and Applications supplementary materialmath.uwaterloo.ca
6. Extension by continuitywww-users.cse.umn.edu
7. Mathlib.Topology.UniformSpace.Completionleanprover-community.github.io
8. Mathlib.Topology.UniformSpace.UniformApproximationleanprover-community.github.io
9. mit18_100af20_lec21.pdfocw.mit.edu
10. MATH 452 General Topologyhomepages.ecs.vuw.ac.nz
11. Some topics in analysis related to metricsmath.rice.edu