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数学 / riemann-integral

黎曼积分

黎曼积分用有限和的极限定义累积量；有界函数当且仅当其间断点集为零测集时黎曼可积。

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黎曼积分是定积分的一种定义：通过不断细分区间，对各子区间上的函数值加权求和并取极限，为函数赋予一个累积值。对于非负函数，它表示函数图像下方的面积；对于既取正值又取负值的函数，它表示有向面积。黎曼积分以波恩哈德·黎曼命名，他在1854年的大学任教资格论文中提出了这一概念。它是微积分和数学分析中的一项基础性构造。(math.ucdavis.edu)

通过分割与求和定义

设 f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb R 为有界函数，且 a<ba<b。区间的一个分割是如下有限序列：

P:a=x0<x1<⋯<xn=b.P:\quad a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b.

在每个子区间中选取一个取样点，也称标记点，ξi∈[xi−1,xi]\xi_i\in[x_{i-1},x_i]。相应的黎曼和为

S(f,P,ξ)=∑i=1nf(ξi)(xi−xi−1).S(f,P,\xi)=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(x_i-x_{i-1}).

分割的网格大小为

∥P∥=max⁡i(xi−xi−1),\|P\|=\max_i(x_i-x_{i-1}),

即其中最长子区间的长度。(math.ucdavis.edu)

若存在一个实数 II，使得对任意 ε>0\varepsilon>0，都存在 δ>0\delta>0，对于每一个满足 ∥P∥<δ\|P\|<\delta 的分割以及每一种标记点的选择，都有

∣S(f,P,ξ)−I∣<ε,|S(f,P,\xi)-I|<\varepsilon,

则称该函数黎曼可积。这一共同的极限记为

I=∫abf(x) dx.I=\int_a^b f(x)\,dx.

要求每一个足够细的分割以及每一种标记点的选择都满足上述条件，这一点至关重要：仅有某个特意选取的和式序列收敛，并不能证明函数可积。各子区间可以等长，但并不要求等长。(math.ucdavis.edu)

上和与下和

一种等价的表述称为达布积分，它不需要选取标记点。在每个子区间上定义

mi=inf⁡[xi−1,xi]f,Mi=sup⁡[xi−1,xi]f.m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]}f,\qquad M_i=\sup_{[x_{i-1},x_i]}f.

下和与上和分别为

L(f,P)=∑imiΔxi,U(f,P)=∑iMiΔxi.L(f,P)=\sum_i m_i\Delta x_i,\qquad U(f,P)=\sum_i M_i\Delta x_i.

每个带标记点的和都介于两者之间。增加分割点只会使下和增大或保持不变，使上和减小或保持不变。可积性等价于：对任意 ε>0\varepsilon>0，都存在一个分割，使得

U(f,P)−L(f,P)<ε.U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon.

因此，可积意味着上下近似值之差可以任意小。等价地说，所有下和的上确界等于所有上和的下确界。这种表述在证明中尤其有用。(math.ucdavis.edu)

可积性与间断点

闭有界区间上的每个连续函数都黎曼可积。一种标准证明利用一致连续性，控制函数在足够短的子区间内的变化幅度。这种区间上的每个实值单调函数也都可积，只有有限个间断点的有界函数同样可积。因此，处处连续是可积的充分条件，但不是必要条件。(math.ucdavis.edu)

精确的刻画由勒贝格判别准则给出：[a,b][a,b] 上的有界函数黎曼可积，当且仅当其间断点集是勒贝格测度意义下的零测集。等价地说，该函数必须几乎处处连续。零测集可以被可数多个区间覆盖，且这些区间的总长度可以任意小。每个可数集的测度都为零，但某些不可数集的测度也为零。(ocw.mit.edu)

一个基本反例是 [0,1][0,1] 上有理数集的示性函数：

D(x)={1,x∈Q,0,x∉Q.D(x)= \begin{cases} 1,&x\in\mathbb Q,\\ 0,&x\notin\mathbb Q. \end{cases}

由于有理数集和无理数集都是稠密集，每个非退化子区间上都能取到这两个函数值。因此，每个下和都为零，每个上和都为一。该函数处处不连续，因而不黎曼可积。这个例子还说明，即使函数仅在一个可数集上取非零值，也不一定黎曼可积。(math.mit.edu)

基本性质与计算

对于可积函数 ff 和 gg，积分具有线性性：

∫ab(αf+βg) dx=α∫abf dx+β∫abg dx.\int_a^b(\alpha f+\beta g)\,dx =\alpha\int_a^b f\,dx+\beta\int_a^b g\,dx.

积分保持不等关系，并且在相邻区间上具有可加性。可积函数的乘积及其绝对值函数也可积，且

∣∫abf(x) dx∣≤∫ab∣f(x)∣ dx.\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq\int_a^b|f(x)|\,dx.

交换积分上下限会改变积分的符号；在长度为零的区间上积分，结果为零。(math.ucdavis.edu)

微积分基本定理将积分与导数联系起来。若 ff 连续，且

F(x)=∫axf(t) dt,F(x)=\int_a^x f(t)\,dt,

则在区间内部各点有 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)。因此，若 AA 是 ff 的一个原函数，则

∫abf(x) dx=A(b)−A(a).\int_a^b f(x)\,dx=A(b)-A(a).

例如，由 A(x)=x3/3A(x)=x^3/3 可得 ∫01x2 dx=1/3\int_0^1x^2\,dx=1/3。该定理提供了一种计算积分的方法；积分本身的定义并不依赖于是否能找到便于计算的原函数。(math.ucdavis.edu)

与勒贝格积分的关系

有界区间上的每个黎曼可积函数都勒贝格可积，且两种积分的值相同。反之则不成立：上述函数 DD 的勒贝格积分为零，因为它仅在一个可数集上取非零值。勒贝格积分是在测度论框架内发展起来的，它适用于更广泛的可测函数，而不要求基于区间的上下近似值一致。(math.mit.edu)

通常意义下的黎曼积分要求函数在有限区间上有界。对于无界函数和无穷区间，则使用反常积分处理，即在通常积分的基础上再取极限。例如，

∫01x−1/2 dx:=lim⁡ε↓0∫ε1x−1/2 dx=2.\int_0^1x^{-1/2}\,dx :=\lim_{\varepsilon\downarrow0} \int_\varepsilon^1x^{-1/2}\,dx=2.

这一极限收敛，并不意味着被积函数在 [0,1][0,1] 上通常意义下黎曼可积：它在零点附近仍然无界。(math.ucdavis.edu)