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数学 / fundamental-theorem-of-calculus

微积分基本定理

微积分基本定理联系微分与积分，说明累积如何产生原函数，以及如何用原函数计算定积分。

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微积分基本定理是微积分中的核心定理，它将描述瞬时变化的导数与描述累积的积分联系起来。它的两个互补表述说明，对连续函数积分可以得到原函数，而定积分可以通过原函数在两个端点处的值相减来计算。这一联系使许多涉及和式极限的计算，可以转化为涉及函数及其导数的计算。(openstax.org)

两个表述

设 f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb R 是连续函数，其中 a<ba<b 为实数。定义累积函数

A(x)=∫axf(t) dt.A(x)=\int_a^x f(t)\,dt.

第一个表述指出，AA 在 [a,b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a,b) 上可导，并且满足

A′(x)=f(x).A'(x)=f(x).

因此，AA 是 ff 的一个原函数，即导数等于 ff 的函数。积分变量 tt 是哑变量；xx 则决定变化的积分上限。在区间端点处，相应的导数应理解为单侧导数。(openstax.org)

第二个表述指出，如果 FF 是 ff 的任意一个原函数，在 [a,b][a,b] 上连续且在 (a,b)(a,b) 上可导，那么

∫abf(x) dx=F(b)−F(a).\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).

右侧通常记为 [F(x)]ab[F(x)]_a^b。给 FF 加上一个常数，不会改变这个差值。因此，积分作为微分的逆运算，只能将原函数确定到相差一个加法常数的程度，而条件 A(a)=0A(a)=0 则选定了一个特定的原函数。(math.mit.edu)

为什么累积函数的导数等于被积函数

利用连续性，可以直接给出第一个表述的数学证明。对于区间内部的一点 xx 和充分小的非零 hh，有

A(x+h)−A(x)h=1h∫xx+hf(t) dt.\frac{A(x+h)-A(x)}h =\frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt.

这个表达式是 ff 在 xx 与 x+hx+h 之间的小区间上的平均值。减去 f(x)f(x)，可得到估计

∣A(x+h)−A(x)h−f(x)∣≤sup⁡t 位于 x 与 x+h 之间∣f(t)−f(x)∣.\left|\frac{A(x+h)-A(x)}h-f(x)\right| \leq \sup_{t\text{ 位于 }x\text{ 与 }x+h\text{ 之间}}|f(t)-f(x)|.

由连续性，当 h→0h\to0 时，右侧趋于零，因此定义导数的极限就是 f(x)f(x)。从几何上看，一个窄条对积分的贡献近似等于其宽度乘以函数的高度；除以宽度后，取极限便得到这一高度。(math.mit.edu)

第二个表述成立，是因为 F−AF-A 的导数为零。根据中值定理，它在该区间上为常数。因此，F(b)−F(a)=A(b)−A(a)F(b)-F(a)=A(b)-A(a)，而后者正是所求的积分。(ocw.mit.edu)

积分计算与可变积分限

对于多项式 f(x)=x2f(x)=x^2，一个原函数是 F(x)=x3/3F(x)=x^3/3。因此

∫02x2 dx=[x33]02=83.\int_0^2x^2\,dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 =\frac83.

这个例子体现了用黎曼和定义积分与用原函数计算积分在实际操作上的区别。该定理并没有将积分重新定义为求原函数，而是证明了这两个独立引入的运算在适当条件下一致。(math.mit.edu)

将该定理与链式法则结合，就可以处理积分限随变量变化的情形。如果 uu 和 vv 可导，且 ff 在一个包含它们取值的区间上连续，那么

ddx∫u(x)v(x)f(t) dt=f(v(x))v′(x)−f(u(x))u′(x).\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt =f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x).

例如，

ddx∫0x2cos⁡t dt=2xcos⁡(x2).\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt =2x\cos(x^2).

在这个公式中，只有积分限依赖于 xx。如果被积函数本身还依赖于另一个参数，就需要另行使用关于积分号下求导的结果。(openstax.org)

净变化与应用

端点值之差的公式也表达了净变化原理：

∫abQ′(t) dt=Q(b)−Q(a).\int_a^b Q'(t)\,dt=Q(b)-Q(a).

当 Q′Q' 连续时，对变化率积分，就能得到相应量的总变化。在经典力学中，对速度积分得到位移，而对速率积分得到路程。当运动方向发生改变时，两者并不相同。同样，积分中的正负贡献可以相互抵消；表示有符号面积的积分，不一定等于曲线与坐标轴之间的几何总面积。(openstax.org)

该定理还将微分方程的微分形式与积分形式联系起来。对于连续的 ff，

y(x)=c+∫axf(t) dty(x)=c+\int_a^x f(t)\,dt

满足条件 y′=fy'=f 和 y(a)=cy(a)=c。这个公式将累积变化与初始值区分开来。(math.mit.edu)

条件与推广

连续性是一个方便的充分条件，但并非最弱的条件。如果 ff 是黎曼可积的，那么在区间内部每一个 ff 连续的点处，其累积函数都可导，且导数为 f(x)f(x)。对于黎曼可积的函数，只要它具有满足上述端点连续性条件的原函数，端点值之差的公式也成立。(ocw.mit.edu)

在数学分析中，借助勒贝格积分可以得到更广泛的表述：紧区间上的函数 FF 具有绝对连续性，当且仅当它可以表示为一个初始值加上某个可积函数的积分。在这种情况下，F′F' 几乎处处存在、可积，并且

F(x)−F(a)=∫axF′(t) dt.F(x)-F(a)=\int_a^x F'(t)\,dt.

这里的“几乎处处”允许存在一个勒贝格测度为零的例外集合。(arxiv.org)

在更高维度中，斯托克斯定理推广了内部变化与边界值之间的这一关系：在一个区域上对适当的导数积分，可以转化为在其边界上积分。一维情形中的端点值之差，是这一原理最简单的实例。(openstax.org)