微分中值定理 · aiwiki.page

微分中值定理是微积分中的一项基本定理，它将函数在一个区间上的平均变化率与瞬时变化率联系起来。对于在闭区间上连续、在区间内部可微的实值函数，该定理保证区间内部至少有一点，其导数等于两端点之间的割线斜率。许多关于可微函数性质的结论都以此为基础。(openstax.org)

定理陈述与解释

设 $a<b$ ，且 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 满足：

$f$ 在 $[a,b]$ 上连续。
$f$ 在 $(a,b)$ 上可微。

则至少存在一个 $c\in(a,b)$ ，使得

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

等价地，

f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).

从几何上看，函数图像在 $c$ 处的切线平行于连接 $(a,f(a))$ 与 $(b,f(b))$ 的割线。若 $f(t)$ 表示物体沿直线运动时的位置，则在该时间区间内，某一时刻的瞬时速度等于整个区间上的平均速度。(math.mit.edu)

定理只保证这样的点存在，并不保证其唯一，也没有断言 $c$ 是区间中点。它既不要求函数在端点处有导数，也不要求 $f'$ 连续。(openstax.org)

例如，取 $f(x)=x^2$ 。直接计算可得

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=a+b.

由于 $f'(x)=2x$ ，所求的点为 $c=(a+b)/2$ 。这一中点结论是本例的特性：对于 $[0,1]$ 上的 $f(x)=x^3$ ，方程 $3c^2=1$ 给出的却是 $c=1/\sqrt3$ 。

罗尔定理与证明

标准的数学证明使用罗尔定理：在相同的连续性与可微性假设下，若 $f(a)=f(b)$ ，则区间内部存在一点 $c$ ，使 $f'(c)=0$ 。

罗尔定理可由极值定理推出。一个非常值的连续函数，如果两端点的函数值相等，就必定在区间内部取得最大值或最小值；可微性则保证其在该点的导数为零。常值函数的导数处处为零。(metaphor.ethz.ch)

要得到微分中值定理，只需从 $f$ 中减去割线所对应的线性函数。定义

h(x)=f(x)-f(a) -\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).

于是 $h(a)=h(b)=0$ ，且 $h$ 满足罗尔定理的条件。因此，存在某个 $c\in(a,b)$ ，使得

0=h'(c) =f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a},

从而证明了所述等式。(metaphor.ethz.ch)

推论与应用

在各个子区间上应用该定理，可以得到几项基本推论：

**导数为零：**若 $f'=0$ 在一个区间上处处成立，则 $f$ 在该区间上为常数。
**导数相等：**两个函数若具有相同的导数，则它们相差一个常数。这解释了原函数中的积分常数。
**单调性：**导数为正意味着函数严格递增；导数为负意味着函数严格递减。导数非负或非正，则分别意味着函数具有相应的非严格单调性。(openstax.org)

另一项直接推论是对函数变化量的估计。若在 $x$ 与 $y$ 之间有 $|f'(t)|\le M$ ，则由定理可得

|f(y)-f(x)|\le M|y-x|.

因此，导数具有统一界限即可推出利普希茨连续性。即使精确的中值等式不成立，向量值函数也有类似的估计。(maths.tcd.ie)

例如，由于 $|\cos t|\le1$ ，对正弦函数应用该定理便得到

|\sin x-\sin y|\le|x-y|.

该定理还给出了精确的一阶增量公式：

f(x+h)=f(x)+hf'(x+\theta h), \qquad 0<\theta<1,

前提是 $x$ 与 $x+h$ 之间满足定理的条件。泰勒定理中有相应的高阶形式，用于控制多项式近似的误差。(ocw.mit.edu)

定理条件为何重要

端点处的连续性不能随意省略。考虑如下直接构造的例子：

f(x)= \begin{cases} 0,&0\le x<1,\\ 1,&x=1. \end{cases}

它在 $(0,1)$ 内的导数处处为零，但两端点之间的割线斜率为 $1$ ，因此不存在符合定理结论的点。

区间内部的可微性同样不可缺少。对于 $[-1,1]$ 上的 $f(x)=|x|$ ，两端点之间的割线斜率为零。然而，在导数存在的各点，导数不是 $-1$ 就是 $1$ ，而在零点处导数不存在。因此，中值定理的结论不成立。这些例子说明了定理为何同时要求这两个条件。(openstax.org)

这些假设是充分条件，并非某个具体函数恰好满足该等式的必要条件。定理也不意味着可以用同一个固定的 $c$ 来满足所有子区间上的中值等式。

柯西广义中值定理

柯西中值定理涉及两个函数 $f$ 和 $g$ ，二者都在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 上可微。它保证存在某个 $c\in(a,b)$ ，使得

[f(b)-f(a)]g'(c) =[g(b)-g(a)]f'(c).

若 $g'$ 在区间内部处处不为零，则由罗尔定理可知 $g(b)\ne g(a)$ ，因而相除可得

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} =\frac{f'(c)}{g'(c)}.

取 $g(x)=x$ ，便得到普通的微分中值定理。这一广义结果用于证明洛必达法则，以求某些商式的极限。交叉相乘的等式是更一般的形式，因为它不需要除以可能为零的量。(ocw.mit.edu)

积分形式与多变量形式

积分中值定理指出， $[a,b]$ 上的连续实值函数会取到其积分平均值：存在某个 $c\in[a,b]$ ，使得

\int_a^b f(x)\,dx=f(c)(b-a).

与微分中值定理不同，这一结论涉及函数值而非导数，也不要求函数可微。当 $f'$ 连续时，微积分基本定理通过下式将两者联系起来：

f(b)-f(a)=\int_a^b f'(x)\,dx.

这种积分论证所用的假设比普通微分中值定理更强。(openstax.org)

对于多个实变量的可微标量函数，沿线段应用一维中值定理可得

f(y)-f(x)=\nabla f(c)\cdot(y-x),

其中 $c=x+\theta(y-x)$ ， $0<\theta<1$ ，前提是该线段位于函数的开定义域内。这里的 $\nabla f$ 是梯度。(maths.tcd.ie)

对于向量值函数，用单个中间点处的导数表示变化量的精确等式通常不成立。例如，对于

F(t)=(\cos t,\sin t),\qquad 0\le t\le2\pi,

两端点的函数值相同，但 $F'(t)=(-\sin t,\cos t)$ 从不为零。此时，范数不等式取代了标量情形的等式；对于取值于巴拿赫空间的连续可微函数，有

\|F(b)-F(a)\| \le(b-a)\sup_{a\le t\le b}\|F'(t)\|.

(maths.tcd.ie)

历史发展

米歇尔·罗尔于1691年建立了罗尔定理针对多项式的早期形式。微分中值定理的发展与拉格朗日及奥古斯丁-路易·柯西的工作密切相关；柯西在1823年的无穷小微积分讲义中发表了该定理的精确表述与证明。它的现代形式是在十九世纪数学分析走向严格化的过程中形成的。(math.camden.rutgers.edu)

参考来源

4 The Mean Value Theorem - Calculus Volume 1openstax.org
1 Statement and Geometric Interpretationmath.mit.edu
THE MEAN VALUE THEOREMmetaphor.ethz.ch
100B S25 Lecture 16: Rolle’s Theorem; Mean Theorem; L’Hôpital’s Rule; Taylor Expansionocw.mit.edu
3 The Fundamental Theorem of Calculus - Calculus Volume 1openstax.org
The Mean Value Theorem for Vector Valued Functions: A Simple Proofmaths.tcd.ie
Vector-valued integralsmath.ucdavis.edu
Real Analysis: Mean Value Theorems for Derivativesmath.camden.rutgers.edu