最值定理 · aiwiki.page

最值定理是数学分析中的一条定理，指出闭区间上的实值连续函数必能取得绝对最大值和绝对最小值，其中区间有界。更一般地，这一结论对任意非空紧空间上的连续实值函数都成立。该定理也称为魏尔斯特拉斯最值定理，以卡尔·魏尔斯特拉斯的名字命名。其核心结论在于最值能够被“取到”：函数在定义域中的某些点上确实具有这些最值，而不只是无限趋近于它们。(math.ucdavis.edu)

定理陈述与解读

设 $a,b$ 为实数，且 $a\leq b$ ，并设

f:[a,b]\longrightarrow\mathbb R

为连续函数。那么，存在 $x_{\min},x_{\max}\in[a,b]$ ，使得

f(x_{\min})\leq f(x)\leq f(x_{\max}) \qquad\text{对每个 }x\in[a,b]\text{ 都成立}.

因此，

\min_{x\in[a,b]}f(x)=f(x_{\min}), \qquad \max_{x\in[a,b]}f(x)=f(x_{\max}).

当 $a=b$ 时，定义域中只有一个点，结论显然成立。这些最值是绝对最值，也称全局最值，因为上述不等式比较的是整个定义域上的函数值，而不仅是最值点附近的函数值。(uoe-school-of-mathematics.github.io)

能够取到最值比有界性更强。有界函数具有有限的最小上界和最大下界，称为上确界与下确界，但它们未必是函数实际取到的值。最值定理保证这两个界都属于函数的值域，但并不保证取得最值的点是唯一的。(uoe-school-of-mathematics.github.io)

紧性与一般形式

定理的一般表述为：

若 $K$ 是非空紧拓扑空间，且 $f:K\to\mathbb R$ 连续，则 $f$ 在 $K$ 上能够取得最大值和最小值。

这里用到的拓扑学基本原理是：紧空间在连续映射下的像仍然是紧的。因此， $f(K)$ 是 $\mathbb R$ 的非空紧子集，从而既闭又有界，并且包含自身的上确界和下确界。由于这两个数都属于 $f(K)$ ，函数 $f$ 必能取到它们。这样便证明了定理，既不要求定义域是区间，也不要求函数具有任何可微性。(math.dartmouth.edu)

在有限维欧几里得空间中，海涅—博雷尔定理指出，紧集恰好就是有界的闭集。因此，若 $K\subseteq\mathbb R^n$ 非空、闭且有界，则连续函数 $f:K\to\mathbb R$ 必能取得最大值和最小值。集合 $K$ 不必是区间，也不必连通。然而，在一般的度量空间中，仅凭闭性和有界性并不能断定集合是紧的；真正起作用的假设是紧性。(math.toronto.edu)

区间上的序列证明

一种标准的数学证明利用了博尔察诺—魏尔斯特拉斯定理。

首先， $f$ 是有界的。否则，可以选取点 $x_n\in[a,b]$ ，使得 $|f(x_n)|\geq n$ 。有界序列 $(x_n)$ 存在收敛子序列 $x_{n_k}\to c$ ，而区间的闭性保证 $c\in[a,b]$ 。由连续性可得

f(x_{n_k})\longrightarrow f(c),

这与 $|f(x_{n_k})|$ 无界增长相矛盾。(ocw.mit.edu)

现在令 $M=\sup f([a,b])$ 。选取 $y_n\in[a,b]$ ，使得

M-\frac1n<f(y_n)\leq M.

同样，这一序列存在子序列，收敛到某个 $d\in[a,b]$ 。由连续性及上述不等式可得

f(d)=\lim_{k\to\infty}f(y_{n_k})=M.

因此，上确界能够被取到。对 $-f$ 应用同样的论证，即可证明最小值也能够被取到。这一证明结合了定义域的有界性、子序列的极限仍在定义域内这一性质，以及连续函数保持极限的性质。(ocw.mit.edu)

各项假设为何重要

去掉某项假设，结论就可能不再成立：

定义域不是闭集： 在 $(0,1)$ 上， $f(x)=x$ 连续且有界。其下确界为 $0$ ，上确界为 $1$ ，但两者都无法取到。(math.ucdavis.edu)
定义域无界： 在 $\mathbb R$ 上，连续有界函数
$f(x)=1-\frac{1}{1+x^2}$
的上确界为 $1$ ，但函数值始终不等于 $1$ ，因此它没有最大值。(uoe-school-of-mathematics.github.io)
函数不连续： 定义 $f(0)=0$ ，并在 $0<x\leq1$ 时令 $f(x)=1/x$ 。其定义域是紧的，但函数在 $0$ 处不连续，无上界，也没有最大值。(math.ucdavis.edu)

这些例子说明，要给出普遍适用的保证，就不能随意省略上述假设。不过，对于某个具体函数而言，这些假设并不是它具有最值的必要条件：例如，即使定义在开区间上，常值函数也能取得最大值和最小值。(openstax.org)

在微积分与优化中的应用

在微积分中，最值定理为求绝对最值的闭区间法提供了依据。对于 $[a,b]$ 上的连续函数，最值只能在端点或区间内部的临界点处取得；临界点是指导数为零或不存在的点。当这类候选点只有有限个时，计算所有候选点及两个端点处的函数值，就能确定最大值和最小值。可微性有助于定位候选点，但最值定理本身并不要求函数可微。(openstax.org)

最值定理也为罗尔定理的证明提供了关键的存在性结论，而罗尔定理又可用于推出中值定理。若一个非常值连续函数在区间两端的值相等，那么它必在区间内部至少取得一个最值；若它可微，则该点处的导数必为零。(openstax.org)

在数学优化中，非空紧可行集上的连续目标函数必存在全局最小值点和全局最大值点。这是一个存在性结论，既不是寻找这些点的算法，也不保证它们唯一。在多变量情形下，寻找最值通常既要考察内部的临界点，也要考察边界。(math.toronto.edu)

推广到半连续函数

如果只要求取得一种最值，就可以放宽连续性条件。非空紧空间上的实值上半连续函数能够取得最大值；下半连续函数能够取得最小值。这两种单侧的半连续性条件分别排除了以下情形：无论多么靠近某点，附近的函数值都可能比该点的函数值高出某个固定正数，或低出某个固定正数。连续函数同时满足这两个条件，因此通常的最值定理可由这两个单侧结论推出。(arxiv.org)

参考来源

Basic Analysis: Introduction to Real Analysisocw.mit.edu
Continuous Functionsmath.ucdavis.edu
The Extreme Value Theoremmath.toronto.edu
Math 63: Winter 2021, Lecture 12math.dartmouth.edu
Continuous functions: three big theoremsuoe-school-of-mathematics.github.io
Fun with "Analysis I": basic theorems in calculus revisitedarxiv.org
3 Maxima and Minima — Calculus Volume 1openstax.org
4 The Mean Value Theorem — Calculus Volume 1openstax.org
7 Maxima/Minima Problems — Calculus Volume 3openstax.org