代数基本定理 · aiwiki.page

代数基本定理是一条定理，指出每个非常数的一元多项式，只要其系数为复数，就至少有一个复数根。等价地，一个次数为 $n\geq1$ 的多项式，若按重数计数，就恰有 $n$ 个复数根。用抽象代数的语言来说，这意味着复数构成一个代数闭域。该定理确立了复数足以求解所有一元多项式方程，但并未给出这些方程的求根公式。(jmilne.org)

定理陈述与因式分解

设

p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0, \qquad a_n\neq0,\quad n\geq1,

其中所有系数都属于 $\mathbb C$ 。该定理断言，存在某个 $\alpha\in\mathbb C$ ，使得 $p(\alpha)=0$ 。有了这个根，便可由因式定理得到

p(z)=(z-\alpha)q(z),

其中 $q$ 的次数为 $n-1$ 。反复应用这一论证，即得

p(z)=a_n\prod_{j=1}^{n}(z-\alpha_j).

因此，根的存在性便意味着多项式可以完全分解为一次因式的乘积。当首项系数固定时，除因式的排列顺序外，这一分解是唯一的。(jmilne.org)

若 $(z-\alpha)^m$ 整除 $p(z)$ ，而 $(z-\alpha)^{m+1}$ 不整除 $p(z)$ ，则称根 $\alpha$ 的重数为 $m$ 。例如，

z^3-3z+2=(z-1)^2(z+2)

有两个不同的根，但按重数计数则有三个根： $1,1,-2$ 。非零常数多项式没有根，因此不在定理的适用范围内；零多项式在每一点都取零值，也没有可供上述根数结论适用的次数。(linear.axler.net)

复系数与实系数

该定理针对的是域（数学） $\mathbb C$ ，而非任意系数域。在实数范围内， $z^2+1$ 没有根；在 $\mathbb C$ 上，它可以分解为 $(z-i)(z+i)$ 。多项式的系数也可以是复数，不必都是实数。(jmilne.org)

对于实系数多项式，由复共轭可得

p(\overline z)=\overline{p(z)}.

因此，非实根总是成共轭对出现，且重数相同。将每一对共轭根对应的因式相乘，就得到一个实系数二次因式：

(z-\alpha)(z-\overline\alpha) =z^2-2\operatorname{Re}(\alpha)z+|\alpha|^2.

所以，每个非常数实系数多项式都能在 $\mathbb R$ 上分解为一次因式与不可约二次因式的乘积。特别地，每个奇数次实系数多项式都有一个实数根。(math.ucla.edu)

证明方法

尽管名为代数基本定理，它却将代数与数学分析联系起来。常见的数学证明不仅依靠多项式的形式运算，还会用到实数或复数的其他性质。不同的证明方法凸显了这种联系的不同方面。(math.ucla.edu)

一种简短的复分析证明使用刘维尔定理，即有界整函数必为常数。假设 $p$ 没有根，则 $1/p$ 在复平面上处处复可微。当 $|z|$ 很大时，首项起主导作用，因此 $|p(z)|\to\infty$ ，从而 $1/p(z)\to0$ 。在任意固定的闭圆盘上， $1/p$ 是连续函数，由极值定理可知它有界。因此，它在整个复平面上有界。刘维尔定理于是说明 $1/p$ 为常数，这与 $p$ 非常数的假设矛盾。(users.math.msu.edu)

另一种证明考察 $|p(z)|$ 的最小值。它在无穷远处的增长保证了全局最小值能够取到。如果最小值在 $z_0$ 处取得，而 $p(z_0)\neq0$ ，那么利用 $p(z_0+w)$ 的展开式中常数项之后的第一个非零项，就可以选取一个很小的位移 $w$ ，使模减小。这与最小性矛盾。还有一种代数方法使用伽罗瓦理论，并结合正实数有平方根、奇数次实系数多项式有实数根这两个事实。(linear.axler.net)

历史发展

18 世纪，达朗贝尔、欧拉和拉格朗日等人曾尝试证明这一定理。他们的论证推动了定理的发展，却依赖一些未经充分论证的假设。卡尔·弗里德里希·高斯在 1799 年的博士论文中提出了一种新证明。他通过考察多项式实部和虚部为零的曲线，来处理实系数多项式。尽管影响深远，这个证明在这些曲线的行为方面存在一处重大缺口。不加限定地称它为第一个完全严格的证明，会掩盖这一问题。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

高斯随后又在 1816 年和 1849 年发表了其他证明。阿尔冈于 1806 年发表了一项论证，并在 1814 年进一步阐述，为最小模方法以及复系数情形的定理表述作出了贡献。这段历史体现的是对复数、连续性和存在性证明的认识逐步澄清的过程，而非一次毫无争议的发现。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

推论与局限

在线性代数中，一个 $n\times n$ 复矩阵有一个 $n$ 次特征多项式。它的根就是矩阵的特征值与特征向量中的特征值，因此每个满足 $n\geq1$ 的这类矩阵都有特征值。这并不意味着矩阵可以进行矩阵对角化：重复的特征值未必能提供足够多的线性无关特征向量。(linear.axler.net)

根的存在性与根能否用根式表示是两回事。阿贝尔–鲁菲尼定理指出，五次及以上的多项式方程不存在通用的根式求解公式，这与它们存在复数根并不矛盾。代数基本定理本身也没有给出寻找这些根的计算步骤。它所断言的是根的存在性和多项式的因式分解，而不是一种通用的显式求解公式。(jmilne.org)