特征多项式 · aiwiki.page

特征多项式是与方矩阵或有限维向量空间上的线性算子相关的多项式。它通过行列式定义，记录了算子的特征值及其代数重数。在线性代数中，特征多项式将矩阵计算与多项式因式分解联系起来，并以不依赖于基的方式描述线性算子的重要性质。其系数包含矩阵的迹和行列式等信息，而凯莱–哈密顿定理则将这一多项式与矩阵的幂直接联系起来。(math.mit.edu)

定义与约定

设 $A$ 是一个元素属于域（数学） $F$ 的 $n\times n$ 矩阵，其特征多项式定义为

p_A(t)=\det(tI_n-A),

其中 $I_n$ 是单位矩阵， $t$ 是不定元。展开行列式后，得到一个系数属于 $F$ 、次数为 $n$ 、首项系数为 $1$ 的多项式。首项系数为 $1$ 的多项式称为首一多项式。这一行列式定义也适用于交换环上的矩阵。(web.mit.edu)

有些教材将特征多项式定义为 $\det(A-tI_n)$ 。这两种约定相差一个因子 $(-1)^n$ ，因此它们的根及各根的重数完全相同。采用 $\det(tI_n-A)$ 的好处是所得多项式始终为首一多项式。令上述任一多项式等于零，便得到特征方程。(math.mit.edu)

对于有限维向量空间 $V$ 上的线性映射 $T:V\to V$ ，可以用 $T$ 在任意基（线性代数）下的表示矩阵来定义其特征多项式。该多项式的次数等于 $V$ 的维数（向量空间），且不依赖于所选的基。(ucl.ac.uk)

特征值与重数

标量 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，当且仅当

p_A(\lambda)=0.

事实上，存在非零向量 $v$ 使 $Av=\lambda v$ ，等价于 $(\lambda I_n-A)v=0$ 有非零解。这样的向量存在，当且仅当 $\lambda I_n-A$ 是奇异矩阵，也就是其行列式为零。因此，求解多项式方程即可得到特征值。(math.mit.edu)

在复数域上，代数基本定理保证

p_A(t)=\prod_{j=1}^{n}(t-\lambda_j),

其中各根按重数列出。一个特征值作为根出现的次数称为它的代数重数。它的几何重数是对应特征空间 $\ker(A-\lambda I_n)$ 的维数，且不超过其代数重数。因此，出现重根并不一定意味着存在多个线性无关的特征向量。(math.mit.edu)

系数所在的域很重要。元素均为实数的矩阵也可能有非实特征值，这些特征值成复共轭对出现。例如，

R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

的特征多项式为 $t^2+1$ ：它没有实特征值，但在复数域上有特征值 $i$ 和 $-i$ 。(netlib.org)

系数与示例

当 $n\geq2$ 时，特征多项式具有如下形式：

p_A(t)=t^n-\operatorname{tr}(A)t^{n-1} +\cdots+(-1)^n\det(A).

因此，矩阵的迹等于各特征值之和，行列式等于各特征值之积；这两种计算都按代数重数计入各特征值。对于 $2\times2$ 矩阵，这两个量就能确定整个特征多项式；对于更高维的矩阵，还需要其他系数。(math.mit.edu)

例如，

A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}

的特征多项式为

p_A(t)=(t-2)^2-1 =t^2-4t+3=(t-1)(t-3).

其特征值为 $1$ 和 $3$ ，与迹为 $4$ 、行列式为 $3$ 相符。更一般地，对于

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, \qquad p_A(t)=t^2-(a+d)t+(ad-bc).

(math.mit.edu)

对于上三角矩阵或下三角矩阵，行列式等于对角线元素的乘积，因此

p_A(t)=\prod_{j=1}^{n}(t-a_{jj}).

所以，它的特征值就是对角线元素，包括重复出现的元素。(math.mit.edu)

相似与对角化

满足矩阵相似关系的矩阵具有相同的特征多项式。若 $B=S^{-1}AS$ ，则

tI_n-B=S^{-1}(tI_n-A)S,

利用行列式的乘法性质可得 $p_B(t)=p_A(t)$ 。这说明了特征多项式为何不依赖于坐标的选择。不过，特征多项式相同并不意味着矩阵相似。(textbooks.math.gatech.edu)

例如， $I_2$ 和

J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}

的特征多项式均为 $(t-1)^2$ ，但它们并不相似。前者是对角矩阵，而后者的特征空间只有一维。更一般地，矩阵对角化要求存在一组由特征向量构成的基。如果矩阵在系数域中有 $n$ 个互不相同的特征值，就能保证这一点；如果有重复的特征值，则需要进一步考察。仅凭特征多项式，无法描述若尔当标准形所包含的全部信息。(textbooks.math.gatech.edu)

凯莱–哈密顿定理与最小多项式

凯莱–哈密顿定理指出，每个方阵都满足其自身的特征多项式：

p_A(A)=0.

这里，多项式求值使用矩阵的幂，并将常数项 $c$ 替换为 $cI_n$ 。因此， $A^n$ 可以表示为较低次幂的线性组合，更高次幂也可以递归地化为较低次幂。(web.mit.edu)

最小多项式 $m_A(t)$ 是满足 $m_A(A)=0$ 的次数最低的首一多项式。它整除 $p_A(t)$ ，但不一定与之相等：对于 $I_n$ ，最小多项式是 $t-1$ ，而特征多项式是 $(t-1)^n$ 。因此，最小多项式给出了矩阵所满足的一个可能次数更低的多项式关系。(ucl.ac.uk)

计算

行列式公式提供了一种直接进行精确计算的方法，对于小规模矩阵或三角矩阵尤其方便。不过，数值特征值计算软件可以直接通过矩阵变换进行计算，而不必显式展开特征多项式。在数值线性代数中，QR算法用于求得舒尔分解中的舒尔形，再从中提取特征值。LAPACK 的非对称特征值问题算法具有范数意义下的后向稳定性：其计算结果对应于输入矩阵受到微小扰动后的精确结果，但个别特征值仍可能对扰动敏感。(netlib.org)