特征空间 · aiwiki.page

特征空间是一个线性子空间，线性算符在该子空间上的作用等同于乘以某个固定的标量。它包含某一指定特征值对应的所有特征向量以及零向量。在线性代数中，特征空间描述了受到相同标量作用的方向及更高维的向量集合，为对角化和谱分解提供了基础结构。(math.brown.edu)

定义与基本性质

设 $T:V\to V$ 是域（数学） $F$ 上的向量空间 $V$ 上的一个线性映射。对于标量 $\lambda\in F$ ，定义

E_\lambda(T)=\{v\in V:T(v)=\lambda v\} =\ker(T-\lambda I),

其中 $I$ 表示恒等算符， $\ker$ 表示核（线性映射）。当且仅当这个子空间包含非零向量时，标量 $\lambda$ 才是特征值。零向量属于每个核，但不是特征向量。(math.brown.edu)

子空间性质可由线性性直接得出。如果 $u,v\in E_\lambda(T)$ 且 $a,b\in F$ ，则

T(au+bv)=a\lambda u+b\lambda v =\lambda(au+bv).

因此，任意线性组合仍属于同一个特征空间。当 $\lambda=0$ 是特征值时，其特征空间就是 $\ker T$ ，即被算符映射为零的所有向量组成的集合。(textbooks.math.gatech.edu)

对于一个 $n\times n$ 矩阵 $A$ ，特征空间是 $A-\lambda I$ 的零空间，这里的 $I$ 表示单位矩阵。计算特征空间需要求解齐次线性方程组

(A-\lambda I)x=0.

利用高斯消元法可以确定自由变量，并将解集表示为一组基（线性代数）的线性包。当特征空间的维数大于一时，仅找到一个特征向量是不够的。(math.mit.edu)

\dim E_\lambda(A)=n-\operatorname{rank}(A-\lambda I),

这将特征空间的维数（向量空间）与移位矩阵 $A-\lambda I$ 的矩阵的秩联系起来。(homepages.ucl.ac.uk)

例如，对矩阵

A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}

直接计算可得

E_2(A)=\{(x,y,0):x,y\in F\},\qquad E_3(A)=\{(0,0,z):z\in F\}.

前者是一个坐标平面，后者是一条坐标轴。平面内的每个非零向量都是特征值 $2$ 对应的特征向量，而不仅仅是选作基的那两个坐标向量。

$E_\lambda(A)$ 的维数称为 $\lambda$ 的几何重数。 $\lambda$ 的代数重数是它作为特征多项式

p_A(t)=\det(tI-A)

的根的重数，其中 $\det$ 表示行列式。对于有限维算符的任意特征值，都有

1\leq\dim E_\lambda(A) \leq\lambda\text{ 的代数重数}.

因此，重根所对应的线性无关特征向量的个数不一定等于其重数。(textbooks.math.gatech.edu)

不同特征值对应的特征向量线性无关。更一般地，不同特征空间的和是直和。当且仅当这些特征空间共同张成整个空间时，才能在 $F$ 上进行矩阵对角化：

V=E_{\lambda_1}(T)\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_r}(T).

等价地，特征多项式必须能在 $F$ 上分解为一次因式的乘积，并且每个特征值的几何重数与代数重数都必须相等。特征值有重根这一点本身并不妨碍对角化。(textbooks.math.gatech.edu)

域的选择会影响特征值和特征空间。一个实矩阵可能在实数域上没有特征值，却在复数域上具有特征值和特征空间。例如，

R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

表示旋转四分之一圈。它没有非零的实特征向量，但在 $\mathbb C$ 上，其特征值为 $i$ 和 $-i$ ，对应的特征空间为

E_i(R)=\operatorname{span}_{\mathbb C}\{(1,-i)\},\qquad E_{-i}(R)=\operatorname{span}_{\mathbb C}\{(1,i)\}.

对于实矩阵，非实特征值及其特征向量成复共轭对出现。(textbooks.math.gatech.edu)

虽然矩阵的坐标表示会随基的变化而变化，但算符的特征空间由算符本身定义，与坐标选择无关。若对于某个可逆矩阵 $P$ ，有

B=P^{-1}AP,

则

E_\lambda(B)=P^{-1}E_\lambda(A).

事实上， $Bx=\lambda x$ 等价于 $A(Px)=\lambda(Px)$ 。因此，满足矩阵相似关系的矩阵表示同一算符在不同坐标系下的形式，对应的特征空间具有相同的维数。(textbooks.math.gatech.edu)

对于有限维内积空间上的自伴算符，不同特征空间彼此正交。谱定理保证存在一组由特征向量构成的标准正交基。这一结论适用于实对称矩阵和复厄米矩阵；对于复矩阵，仅有对称性并不足够。(math.brown.edu)

以 $P_\lambda$ 表示到 $E_\lambda(T)$ 上的正交投影，则算符具有如下分解：

T=\sum_\lambda\lambda P_\lambda,\qquad I=\sum_\lambda P_\lambda.

在维数大于一的特征空间内，标准正交基并不唯一，但特征空间及其正交投影是固定的。(math.brown.edu)

普通特征空间未必能张成整个空间。对于 $n$ 维空间上的算符，与 $\lambda$ 对应的广义特征空间定义为

G_\lambda(T)=\ker(T-\lambda I)^n.

其中的向量被 $T-\lambda I$ 的某个正整数次幂映射为零，而不一定被 $T-\lambda I$ 本身映射为零。当特征多项式能分解为一次因式的乘积时，广义特征空间构成 $V$ 的直和分解，其维数分别等于相应特征值的代数重数。(math.brown.edu)

例如，对矩阵

J=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}

直接计算可得 $E_2(J)=\operatorname{span}\{(1,0)\}$ ，而 $(J-2I)^2=0$ ，因此 $G_2(J)=F^2$ 。尽管该特征值的代数重数为二，普通特征空间却只有一维。