线性组合 · aiwiki.page

线性组合是将向量空间中的元素分别乘以标量，再将所得结果相加而形成的表达式。它是线性代数中的一种基本构造，将向量方程、生成集、坐标系和线性变换联系起来。参与组合的元素不一定是几何意义上的箭头，也可以是多项式、函数或矩阵，只要它们属于同一个向量空间。(mtaylor.web.unc.edu)

定义与适用范围

设 $V$ 是域（数学） $F$ 上的向量空间。给定向量 $v_1,\ldots,v_n\in V$ 和系数 $a_1,\ldots,a_n\in F$ ，它们的线性组合为

a_1v_1+\cdots+a_nv_n=\sum_{i=1}^{n}a_iv_i.

这些系数是标量，属于定义该向量空间所用的域。常用的标量域有实数域和复数域。向量空间对加法和标量乘法的封闭性保证了所得元素仍属于 $V$ 。一般而言，并不要求系数为正，也不要求系数之和等于一。(mtaylor.web.unc.edu)

通常的代数定义采用有限和。即使一个集合包含无穷多个向量，每个线性组合也只使用其中有限多个向量。无穷级数需要额外引入收敛的概念，并不自动构成代数意义上的线性组合。将所有系数取为零便得到零向量；按照惯例，空和也定义为零向量。(mtaylor.web.unc.edu)

对于多项式，例如

p(t)=3-2t+5t^2

就是 $1,t,t^2$ 的线性组合。同样，对于定义域和标量域相同的函数， $af+bg$ 表示在 $t$ 处取值为 $af(t)+bg(t)$ 的函数。这些例子说明，线性组合的定义并不限于坐标向量的运算。(mtaylor.web.unc.edu)

几何解释与线性包

在实坐标空间中，标量乘法会改变向量的长度；当标量为负时，还会使向量的方向反转。向量加法则将所得位移合成。例如，

2(1,0)-3(0,1)=(2,-3).

一个非零向量生成一条经过原点的直线。两个不平行的向量生成一个经过原点的平面，而两个平行的向量只能生成一条直线。因此，生成对象的几何形态取决于可用的方向，而不只是所列向量的数量。(textbooks.math.gatech.edu)

集合 $S$ 的线性包记作 $\operatorname{span}(S)$ ，是由 $S$ 中元素的所有有限线性组合构成的集合。它是包含 $S$ 的最小线性子空间。一个线性组合是某个特定的表达式或所得向量，而线性包则是所有能够得到的向量组成的完整集合。空集的线性包为 $\{0\}$ 。(interactivetextbooks.tudelft.nl)

线性无关、基与坐标

如果向量组 $v_1,\ldots,v_n$ 满足：由

a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0

必能推出 $a_1=\cdots=a_n=0$ ，则称该向量组线性无关。否则，称其线性相关。在一个线性相关的有限向量组中，至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合，因此，去掉这个向量也不会改变所生成的线性包。(interactivetextbooks.tudelft.nl)

线性无关性决定了表示的唯一性：在线性无关向量组的线性包中，每个向量相对于该向量组都恰好对应一组系数。证明这一点，只需将两个可能的表示相减；线性无关性迫使所有对应系数之差均为零。对于线性相关向量组，则可以将一个系数不全为零的线性关系加到已有表示上，得到系数不同但结果相同的表示。(interactivetextbooks.tudelft.nl)

基（线性代数）是一个线性无关的生成集。因此，将基的元素按顺序排列后，就能为向量提供坐标：每个向量都由其系数唯一表示。在有限维空间中，基所含元素的个数就是该空间的维数（向量空间）。(textbooks.math.gatech.edu)

矩阵表示与计算

对于坐标向量 $v_1,\ldots,v_n\in F^m$ ，将它们作为列排成一个矩阵：

A=\begin{bmatrix}v_1&\cdots&v_n\end{bmatrix}.

于是

Ax=x_1v_1+\cdots+x_nv_n.

判断目标向量 $b$ 是否是这些列向量的线性组合，等价于求解线性方程组 $Ax=b$ 。(textbooks.math.gatech.edu)

高斯消元法可以判断方程组是否有解，并在有解时求出系数。矩阵的秩衡量的是列向量线性包的维数。对于有解的方程组，系数唯一当且仅当其列向量线性无关；如果列向量线性相关，同一个目标向量就可以对应多个不同的系数向量。如果方程组无解，目标向量便不在列向量的线性包中。(textbooks.math.gatech.edu)

带约束的组合

几种相关构造对实数系数施加了额外条件：

仿射组合要求 $\sum_i a_i=1$ 。
锥组合要求 $a_i\geq0$ 。
凸组合要求同时满足上述两个条件。(math.mit.edu)

对于两个不同的点 $u,v$ ，仿射组合 $(1-t)u+tv$ 在实数 $t$ 不受限制时，描述经过这两点的整条直线。凸组合则将 $t$ 限制在 $[0,1]$ 内，描述连接两点的线段。这些构造是仿射空间和凸集的基础；系数非负是额外条件，并非一般线性组合定义的一部分。(math.mit.edu)

线性映射与统计模型

线性映射保持线性组合：

T\left(\sum_i a_iv_i\right)=\sum_i a_iT(v_i).

因此，只要知道线性映射在一组基上的取值，就能确定它在整个空间中的取值。这一性质说明了线性组合与变换的矩阵表示之间的密切关系。(textbooks.math.gatech.edu)

在线性回归中，拟合得到的预测量是所选特征列的线性组合，其中通常包含一个用于表示截距的常数列。普通最小二乘法通过选择系数，使残差平方和最小。多项式项和交互项也可以作为特征：这里的“线性”指的是系数在模型中的作用，而不一定意味着模型对原始输入变量呈线性依赖。(online.stat.psu.edu)