线性泛函 · aiwiki.page

线性泛函是从向量空间到其标量域（数学）的线性映射。一般的线性算子可以输出另一个空间中的向量，而线性泛函的输出则是一个标量。这个术语既适用于有限维空间，也适用于以函数为元素的空间。线性泛函构成对偶空间，为研究坐标、标量测量和连续性提供了一个框架。(pi.math.cornell.edu)

定义与基本性质

设 $V$ 是域 $\mathbb F$ 上的向量空间。如果映射 $f:V\to\mathbb F$ 对任意 $x,y\in V$ 和 $\alpha,\beta\in\mathbb F$ 都满足

f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y),

则称 $f$ 为线性泛函。这个条件同时包含可加性和齐次性，由此可得 $f(0)=0$ 、 $f(-x)=-f(x)$ ，且 $f$ 保持任意有限线性组合。在分析中，标量通常为实数或复数。(pi.math.cornell.edu)

线性性取决于所指定的标量域：复向量空间上的实线性映射未必是复线性的。特别地，复共轭运算是实线性的，但不是复线性的。此外，当 $b\ne0$ 时，映射 $x\mapsto f(x)+b$ 是仿射映射，而不是线性泛函，因为它不把零映射到零。(math.mit.edu)

在 $\mathbb F^n$ 上，每个线性泛函都具有如下形式：

f(x_1,\ldots,x_n)=a_1x_1+\cdots+a_nx_n.

相对于标准坐标，它可以用作用于列向量的 $1\times n$ 矩阵 $(a_1,\ldots,a_n)$ 表示。这些系数唯一确定该泛函。(cs.cornell.edu)

更一般地，若 $e_1,\ldots,e_n$ 是 $V$ 的一组基（线性代数），则其对偶基由满足

e^i(e_j)=\delta_{ij}

的泛函 $e^1,\ldots,e^n$ 组成。因此，若 $x=\sum_jx_je_j$ ，则 $e^i(x)=x_i$ ，并且

f=\sum_{i=1}^{n}f(e_i)e^i.

代数对偶 $V^*=\operatorname{Hom}_{\mathbb F}(V,\mathbb F)$ 配备逐点定义的加法和标量乘法。因此，当 $V$ 为有限维空间时， $V^*$ 与 $V$ 具有相同的维数（向量空间）。(math.mit.edu)

选定一组基便可得到 $V$ 与 $V^*$ 之间的一个同构，但仅凭向量空间结构并不能确定一个典范同构。相比之下，映入双重对偶空间的求值映射

J:V\longrightarrow V^{**},\qquad J(x)(f)=f(x)

不需要选取基，并且在有限维情形下是一个同构。(math.mit.edu)

\ker f=\{x\in V:f(x)=0\},

它是一个线性子空间。若 $f\ne0$ ，则 $f$ 是到 $\mathbb F$ 的满射，其核的余维为一。在有限维情形下，这可由秩—零化度定理推出。这样的核是一个线性超平面。(homepages.ucl.ac.uk)

选取满足 $f(v)=1$ 的向量 $v$ 。每个向量都可以分解为

x=\bigl(x-f(x)v\bigr)+f(x)v,

其中第一项属于 $\ker f$ 。对于任意标量 $c$ ，水平集 $f(x)=c$ 是平移后的超平面 $cv+\ker f$ 。在实数域上，这些水平集描述了一族相互平行的标量值约束。(homepages.ucl.ac.uk)

在固定点处求值是线性的：在区间 $[a,b]$ 上的连续函数空间中，定义

E_t(g)=g(t),\qquad t\in[a,b].

同样，积分泛函

I(g)=\int_a^b g(s)\,ds

也是线性的。只要相应积分存在，加权积分 $g\mapsto\int_a^b g(s)w(s)\,ds$ 也给出了线性泛函的例子。(pi.math.cornell.edu)

在多项式空间上，提取指定项的系数是一个线性泛函。在固定点处对导数求值，即 $p\mapsto p'(t)$ ，是另一个例子。这些例子说明，“泛函”并不意味着非线性，也不要求定义域是无限维的：线性泛函的关键特征是取值为标量且具有线性性。(cs.cornell.edu)

在泛函分析中，定义域通常配备一个范数。赋范向量空间 $X$ 上的线性泛函连续，当且仅当存在 $C\ge0$ ，使得

|f(x)|\le C\|x\|\qquad(x\in X).

仅在零点处连续就足够了。这里的“有界”是指在单位球上有界，而不是在整个空间上有界；任何非零线性泛函沿着适当向量的标量倍数取值时，其绝对值都可以无限增大。(ocw.mit.edu)

线性泛函的算子范数为

\|f\|=\sup_{\|x\|\le1}|f(x)|.

连续对偶空间只包含连续线性泛函，而代数对偶空间不施加任何连续性要求。即使 $X$ 不完备，其连续对偶空间在此范数下仍是巴拿赫空间。有限维实或复赋范空间上的每个线性泛函都是连续的；无限维空间上则可能存在不连续的线性泛函。(ocw.mit.edu)

对于希尔伯特空间 $H$ ，里斯表示定理指出，每个连续线性泛函都具有唯一的表示

f(x)=\langle x,y\rangle,\qquad y\in H,

这里采用内积对第一个变量为线性的约定。此外， $\|f\|=\|y\|$ 。在复空间中，对应关系 $y\mapsto f$ 是共轭线性的。(ocw.mit.edu)

哈恩—巴拿赫定理保证，实或复赋范空间的子空间上的有界线性泛函，可以延拓到整个空间而不增大其范数。因此，连续线性泛函能够区分不同的点，并可通过下式恢复范数：

\|x\|=\sup_{\|f\|\le1}|f(x)|.

延拓不一定唯一。(ocw.mit.edu)

线性泛函还定义了弱拓扑：使连续对偶空间中每个元素都连续的最弱拓扑。序列 $x_n$ 弱收敛于 $x$ ，当且仅当对每个连续线性泛函 $f$ ，都有 $f(x_n)\to f(x)$ 。这种方式通过标量求值来检验收敛性，而不是直接考察范数距离。(math.ucdavis.edu)