核（线性映射）

在线性代数中，线性映射 $T:V\to W$ 的核是 $V$ 中所有被 $T$ 映射为 $W$ 中零向量的向量构成的集合。核也称为零空间，记作 $\ker T$。核刻画了映射无法区分的输入差异：两个输入的输出相同，当且仅当它们的差属于核。因此，核在研究解的唯一性和求解线性方程时具有根本作用。(homepages.ucl.ac.uk)

定义与子空间结构

设 $V$ 和 $W$ 是同一域（数学） $F$ 上的向量空间。则

这里的零是陪域中的零向量，不一定是标量。核包含于定义域；相比之下，像（线性映射） $\operatorname{im}T=\{T(v):v\in V\}$ 包含于陪域。这些定义既适用于有限维空间，也适用于无限维空间。(homepages.ucl.ac.uk)

核总是一个线性子空间。事实上，由线性性可得 $T(0_V)=0_W$，因此核非空。如果 $u,v\in\ker T$ 且 $a,b\in F$，则

因此，核中向量的任意线性组合仍属于核。特别地，核不可能是空集：最小的核是 $\{0_V\}$，称为平凡核。(homepages.ucl.ac.uk)

单射性与解集

一个线性映射是单射函数，当且仅当它的核是平凡核。关键在于以下等价关系：

如果核中只有零向量，那么输出相同就必然意味着输入相同。反过来，核中的任何非零向量都与零向量具有相同的输出，因此映射不可能是单射。(math.ucla.edu)

更一般地，假设 $T(x)=b$ 有一个特解 $x_0$，则其完整解集为

这是一个以核为方向空间的仿射空间。如果 $b\notin\operatorname{im}T$，则方程无解。因此，像决定了某个输出是否能够达到，而核决定了产生该输出的输入有多大程度的不唯一性。(math.dartmouth.edu)

零化度与秩—零化度定理

核的维数（向量空间）称为 $T$ 的零化度。当定义域为有限维空间时，秩—零化度定理指出

右侧第二项是秩。证明时，先取核的一组基（线性代数），将其扩充为 $V$ 的一组基，再证明新增基向量的像构成像空间的一组基。(math.ucla.edu)

对于一个 $m\times n$ 矩阵 $A$，上述公式变为

其中，矩阵的秩衡量相互独立的输出方向的数量。特别地，若列数大于行数，则核必定非平凡。(live.ocw.mit.edu)

矩阵表示与计算

选定基后，有限维空间之间的线性映射可用矩阵 $A$ 表示，其核则由齐次线性方程组

的解来表示。高斯消元法不改变这一解集。在简化行阶梯形中，主元变量可用自由变量表示。依次将一个自由变量设为 $1$、其余自由变量设为 $0$，便可得到一组线性无关的解，它们的线性包就是整个核。(ocw.mit.edu)

例如，在实数域上，取

由方程可得 $x_2=-x_3$ 和 $x_1=-x_3$。因此

核是一条经过原点的直线，其一组基为 $\{(-1,-1,1)\}$，零化度为 $1$。这是利用自由变量构造核的基的直接例子。(ocw.mit.edu)

尽管坐标表示会随所选的基而变化，但核本身是原定义域中不依赖于基的内在子空间。(math.ucla.edu)

商空间解释

核在 $V$ 上定义了一个等价关系：两个输入等价，当且仅当它们的差属于 $\ker T$。相应的商向量空间 $V/\ker T$ 将输出相同的输入恰好归入同一个等价类。(math.dartmouth.edu)

第一同构定理给出一个典范同构

这个映射是良定义的，因为给代表元加上核中的向量并不会改变其输出。它是单射，因为只有零陪集被映射为零；根据像的定义，它又是到像空间的满射。这一结论不需要有限维假设。(math.dartmouth.edu)

求导的例子

核中的元素不一定是坐标向量。在次数不超过 $n$ 的实系数多项式空间上，取导数的映射 $D(p)=p'$ 的核恰好是所有常数多项式。当 $n\geq1$ 时，它的像由次数不超过 $n-1$ 的多项式组成。因此，它的零化度为 $1$，秩为 $n$，而定义域的维数为 $n+1$，这展示了秩—零化度定理在函数空间中的应用。(homepages.ucl.ac.uk)