同态 · aiwiki.page

同态是数学结构之间保持指定运算或关系的函数。在抽象代数中，同态联系的是同一类型的结构，如群、环或模，并保持这些结构的代数运算规则。同态不必是单射或满射：不同元素可以有相同的像，目标结构中的某些元素也可能不在映射的像中。其定义的核心要求是与结构相容，而不是保留元素之间的所有区别。(math.hawaii.edu)

一般定义

在泛代数中，设 $A$ 和 $B$ 具有相同的型，即具有相同的运算符号，且每个符号都指定了参数个数。如果函数 $h:A\to B$ 对每个基本 $n$ 元运算 $\omega$ 都满足

h\bigl(\omega_A(a_1,\ldots,a_n)\bigr) = \omega_B\bigl(h(a_1),\ldots,h(a_n)\bigr),

则称 $h$ 为同态。

也就是说，先进行运算再映射，与先映射各个参数再进行相应运算，所得结果相同。常量是零元运算，因此指定的常量也必须保持。例如，保持指定常量 $c$ 意味着 $h(c_A)=c_B$ 。(math.hawaii.edu)

保持基本运算，就意味着保持由这些运算构成的所有表达式。特别地，同态与项运算可交换，而不只是与型中明确列出的运算可交换。(agda-algebras.universalalgebra.org)

主要的代数情形

群。在群论中，同态 $h:G\to H$ 满足

h(xy)=h(x)h(y).

由这一条件可推出 $h(e_G)=e_H$ 和 $h(x^{-1})=h(x)^{-1}$ 。一个重要例子是从整数加法群到模 $n$ 整数加法群的约化映射：

\pi:\mathbb Z\to\mathbb Z/n\mathbb Z,\qquad \pi(k)=k+n\mathbb Z.

它保持加法，同时将相差 $n$ 的整数倍的整数映为同一元素，由此将同态与模算术联系起来。另一个例子是行列式映射，它将一个域上的可逆矩阵映到该域的非零元素乘法群。(jmilne.org)

环。环（数学）之间的同态保持加法和乘法：

h(a+b)=h(a)+h(b),\qquad h(ab)=h(a)h(b).

按照环带有乘法单位元、环同态保持单位元的约定，还必须满足 $h(1_R)=1_S$ 。有些文献允许不保持乘法单位元的映射，因此采用哪一种约定很重要。对于交换环 $R$ 和 $a\in R$ ，多项式的求值给出一个环同态：

\operatorname{ev}_a:R[x]\to R,\qquad p(x)\mapsto p(a).

例如，在零处求值会将多项式映到其常数项。(math.ucla.edu)

向量空间与模。 固定域（数学） $F$ 上的向量空间同态就是线性映射：

T(u+v)=T(u)+T(v),\qquad T(\lambda v)=\lambda T(v).

对于固定环上的模（数学），相应的要求是保持加法以及环的标量作用。这些都是保持运算这一一般定义的具体实例。(math.hawaii.edu)

像、核与商结构

映射 $h:A\to B$ 的像为

\operatorname{im}h=\{h(a):a\in A\}.

它对目标结构的运算封闭，因此构成一个子代数。核描述了映射将哪些元素视为相同。对于群同态，核是所有映到单位元的元素组成的集合；对于环同态，核是所有映到零的元素组成的集合。这两种核分别构成正规子群和理想（环论）。(math.hawaii.edu)

对于线性映射，核（线性映射）为 $\{v:T(v)=0\}$ ，也称为零空间。然而，在一般的泛代数中，结构未必具有指定的零元或单位元。此时，核定义为一个关系：

\theta_h=\{(a,a')\in A\times A:h(a)=h(a')\}.

这是一个与所有运算相容的等价关系，称为**同余关系**。同态是单射，当且仅当这一关系不将任何不同的元素视为等价。(math.hawaii.edu)

**第一同构定理**指出，按照同态所确定的等同关系取商，得到的结构与该同态的像同构：

A/\theta_h\cong\operatorname{im}h.

对于群，这一结论写作

G/\ker h\cong\operatorname{im}h,

其中的同构将陪集 $g\ker h$ 映到 $h(g)$ 。因此，一个同态可以分解为一个商映射、一个到其像的同构，以及将该像包含到目标结构中的包含映射。(math.hawaii.edu)

商映射还具有泛性质。如果群同态 $f:G\to H$ 将正规子群 $N$ 映到单位元，则存在唯一的同态 $\bar f:G/N\to H$ ，使得 $f=\bar f\circ\pi$ ，其中 $\pi(g)=gN$ 。(jmilne.org)

复合与相关术语

同态的函数复合仍是同态，而恒等函数保持结构。同态还将子代数映到子代数，并且由其在生成集上的取值唯一确定。(math.hawaii.edu)

以下几个相关术语规定了额外的性质：

自同态是一个结构到自身的同态。
**同构**具有同样保持结构的逆映射。对于具有固定型的纯代数结构，每个作为双射函数的同态都具有这一性质。
自同构是一个结构到自身的同构。(math.hawaii.edu)

在范畴论中，单态射由左消去性质定义，满态射由右消去性质定义。不能在所有范畴中都简单地用“单射”和“满射”来替代这两个定义。例如，包含映射 $\mathbb Z\hookrightarrow\mathbb Q$ 是含幺交换环范畴中的满态射，却不是满射：每个有理数都由整数及其乘法逆元确定，因此，两个从 $\mathbb Q$ 出发的环同态如果在 $\mathbb Z$ 上一致，就必然处处一致。(stacks.math.columbia.edu)

关系结构与图

同态这一术语也适用于由关系而非运算定义的结构。在图论中，图同态是保持邻接关系的顶点映射：

u\sim v\quad\Longrightarrow\quad h(u)\sim h(v).

它不必保持非邻接关系。对无自环图进行 $k$ 色正常着色，恰好就是给出一个到完全图 $K_k$ 的同态。(maths.tcd.ie)

与纯代数情形不同，双射的图同态未必是同构，因为它的逆映射可能不保持邻接关系。例如，从三个顶点的路径图到三角形图的顶点双射，保持了路径图的所有边，但反向映射无法保持三角形图的所有边。(maths.tcd.ie)

保持结构的范围

必须始终明确所保持的结构。仅保持加法，不足以成为环同态；仅保持向量加法，也不足以保证在选定的域上线性。同样，额外的拓扑结构会带来超出保持代数结构之外的要求。(math.ucla.edu)

**同胚**是另一个概念：它是逆映射也连续的双射连续映射，表达的是拓扑空间之间的等价性，而不只是代数运算的保持。两个名称相似，并不意味着它们的定义条件可以互换。(ocw.mit.edu)

参考来源

Lectures on Universal Algebramath.hawaii.edu
A Course in Universal Algebramath.hawaii.edu
Group Theoryjmilne.org
Operations — The Agda Universal Algebra Libraryagda-algebras.universalalgebra.org
Abstract Algebra — Chapter 3 Ring theorymath.ucla.edu
AATA Homomorphisms, Normal Subgroups and Quotientsntouikan.ext.unb.ca
Section 10.107: Epimorphisms of rings — The Stacks projectstacks.math.columbia.edu
Homomorphismsmaths.tcd.ie
RES.18-012 (Spring 2022) Full Lecture Notes: Algebra II Student Notesocw.mit.edu