李群 · aiwiki.page

李群是同时具有光滑流形结构的数学群，其乘法和求逆运算都是光滑映射。它将群论中对称性的代数研究与微分几何的方法结合起来。旋转群、平移群以及许多可逆矩阵构成的群都是李群。李群的核心特点是，可以通过无穷小变换来研究有限变换，而这些无穷小变换构成一个与之关联的李代数。(ocw.mit.edu)

定义与解释

有限维实李群 $G$ 是一个带有有限维光滑流形结构的群，并且映射

m:G\times G\longrightarrow G,\qquad m(g,h)=gh,

和

\iota:G\longrightarrow G,\qquad \iota(g)=g^{-1},

都是光滑的。按照通常的约定，该流形须满足豪斯多夫条件和第二可数性。群公理要求运算满足结合律、存在单位元 $e$ ，并且每个元素都有逆元。李群的维数就是其流形维数，即在局部描述一个元素所需的独立参数的个数。(ocw.mit.edu)

这种光滑相容性比拓扑群所要求的连续性更强，使我们能够对群运算求导。左平移和右平移

L_g(h)=gh,\qquad R_g(h)=hg,

都是微分同胚，因此每一点都具有与单位元处相同的局部几何结构。李群不一定连通，也不一定交换。按照上述约定，可数离散群也属于零维李群。复李群则具有复流形结构，其群运算为全纯映射。(ocw.mit.edu)

基本例子

许多李群都是矩阵李群，其运算为矩阵乘法和求逆。一般线性群 $GL(n,\mathbb R)$ 由所有可逆的实 $n\times n$ 矩阵组成；它是全体实 $n\times n$ 矩阵所成空间的一个开子集，维数为 $n^2$ 。一些重要的子群通过保持附加结构不变的条件来定义。(ocw.mit.edu)

群	定义描述	实维数
$(\mathbb R^n,+)$	向量在加法下构成的群	$n$
$GL(n,\mathbb R)$	可逆实矩阵	$n^2$
$SL(n,\mathbb R)$	[[determinant	行列式]]为 $1$ 的实矩阵
$O(n)$	满足 $A^TA=I$ 的实矩阵	$n(n-1)/2$
$SO(n)$	$O(n)$ 中行列式为 $1$ 的元素	$n(n-1)/2$
$U(n)$	满足 $A^\dagger A=I$ 的复矩阵	$n^2$
$SU(n)$	$U(n)$ 中行列式为 $1$ 的元素	$n^2-1$

这里， $A^\dagger$ 表示共轭转置。正交群和酉群分别保持实欧几里得内积和复厄米内积不变。尽管 $U(n)$ 和 $SU(n)$ 的元素是复矩阵，表中列出的维数仍是实维数。(ocw.mit.edu)

圆群 $U(1)=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}$ 描述平面旋转。群 $SO(3)$ 描述空间旋转，而特殊欧几里得群 $SE(3)$ 将旋转和平移结合起来，描述刚体保持定向的运动。它的维数为六，对应三个旋转参数和三个平移参数。(ocw.mit.edu)

李代数与无穷小结构

$G$ 的李代数通常记为 $\mathfrak g$ ，它是单位元处的切空间：

\mathfrak g=T_eG.

它是一个配备了称为李括号的双线性运算的向量空间。单位元 $e$ 处的每个切向量都能唯一地延拓为一个左不变向量场，这些向量场的交换子定义了李括号。李括号满足

[X,Y]=-[Y,X]

以及雅可比恒等式：

[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0.

这些恒等式将李代数与具有任意双线性乘法的代数区分开来。(ocw.mit.edu)

对于矩阵李群，李括号为

[X,Y]=XY-YX.

因此， $\mathfrak{gl}(n,\mathbb R)$ 由所有实矩阵组成， $\mathfrak{sl}(n,\mathbb R)$ 由迹为零的矩阵组成， $\mathfrak{so}(n)$ 由反对称矩阵组成。代数 $\mathfrak{su}(n)$ 则由迹为零的反厄米矩阵组成。李括号在无穷小层面上衡量变换不交换的程度；对于连通李群，李括号恒为零等价于群的交换性。(ocw.mit.edu)

指数映射

每个 $X\in\mathfrak g$ 都确定一个唯一的光滑单参数子群 $\gamma_X:\mathbb R\to G$ ，满足

\gamma_X(s+t)=\gamma_X(s)\gamma_X(t), \qquad \gamma_X'(0)=X.

指数映射定义为

\exp(X)=\gamma_X(1).

对于矩阵群，它就是矩阵指数：

\exp(X)=I+X+\frac{X^2}{2!}+\cdots.

指数映射将无穷小生成元转化为有限变换。它在零点处的导数是恒等映射，因此在 $0$ 和 $e$ 的适当邻域之间构成微分同胚。(ocw.mit.edu)

指数映射通常不是从向量加法群出发的群同态：当 $X$ 与 $Y$ 交换时， $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ 成立，但一般情况下并不成立。在局部，贝克–坎贝尔–豪斯多夫公式给出了修正项：

\log(\exp X\,\exp Y) =X+Y+\frac12[X,Y]+\cdots.

指数映射在整体上也不一定是单射或满射。对于连通紧李群，它是满射，但仅有连通性并不能保证满射性。不过，连通李群的每个元素都可以表示为有限个指数映射值的乘积。(ocw.mit.edu)

局部结构与整体拓扑

群与代数之间的基本对应关系有明确的限度。每个有限维实李代数都对应一个连通且单连通的李群，且该李群在同构意义下唯一。具有这一李代数的每个连通李群，都可以表示为这个单连通群对某个离散中心子群的商群。因此，李代数决定局部乘法结构，却不能决定全部整体拓扑信息。(ocw.mit.edu)

例如，加法群 $\mathbb R$ 与圆群具有相同的一维阿贝尔李代数，但整体拓扑不同。同样， $SU(2)$ 与 $SO(3)$ 的李代数同构，而

SO(3)\cong SU(2)/\{I,-I\}.

前者是单连通的，并且是后者的二重覆盖。在判断哪些李代数表示能够延拓为某个特定群的表示时，这一区别十分重要。(ocw.mit.edu)

李群中包含单位元的连通分支 $G^\circ$ 是一个开正规子群。李代数刻画了这一连通分支的局部结构，但仅凭李代数，无法确定其他连通分支，也无法确定它们与单位元分支之间的相互作用。(ocw.mit.edu)

子群、作用与表示

闭子群定理指出，李群的每个闭子群都是嵌入李子群。闭性这一条件很重要：子群未必是嵌入子流形。例如，一个单参数子群可以在二维环面上稠密地缠绕。这类现象要求我们区分嵌入李子群与浸入李子群。(ocw.mit.edu)

光滑的群作用使李群能够通过变换作用于流形。若 $H$ 是闭子群，则陪集空间 $G/H$ 是一个光滑的齐性空间，且

\dim(G/H)=\dim G-\dim H.

例如，球面可以表示为 $S^2\cong SO(3)/SO(2)$ ：旋转在球面上的作用是传递的，而绕某条固定轴的旋转保持该轴上的一个球面点不动。(ocw.mit.edu)

有限维表示是一个光滑的同态

\rho:G\to GL(V).

对它求微分可得到李代数表示 $d\rho:\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V)$ 。表示论研究这种对称性的线性实现。紧群具有尤其强的性质：其有限维复表示都存在不变的正定厄米内积，并且可以分解为不可约表示的直和。(ocw.mit.edu)

结构与分类

李群通常按紧或非紧、连通或不连通，以及阿贝尔、可解或半单等性质来区分。若一个李代数没有非零的可解理想，就称其为半单李代数；若它不是阿贝尔代数，且没有非零的真理想，就称其为单李代数。这些条件使其分类比一般李代数的分类受到更严格的约束。(math.stanford.edu)

有限维复单李代数分为四个经典系列：

A_n,\quad B_n,\quad C_n,\quad D_n,

以及五个例外类型：

G_2,\quad F_4,\quad E_6,\quad E_7,\quad E_8.

它们的结构由根系和戴金图编码。对于紧连通群，极大环面——即极大连通阿贝尔子群——是梳理其结构的核心工具；极大环面的维数就是群的秩。群的分类除李代数之外，还需要额外的整体数据，包括对中心子群取商的信息。非紧实形式则带来了进一步的区别。(math.stanford.edu)

历史发展

这一研究领域以索 Sophus 李（1842—1899）的名字命名，他在研究微分方程的过程中发展了连续变换群理论。1873—1874 年冬季，他开始系统地构建这一理论。他所说的“无穷小群”是今天所谓李代数的先声：它们描述的是变换的无穷小生成元，而非现代意义上的群。最初以变换为基础的观点，在研究微分方程的对称性时仍然十分重要。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

应用与适用范围

在机器人学中， $SO(3)$ 和 $SE(3)$ 用于描述姿态和位姿，而不将它们当作不受约束的欧几里得向量。它们的李代数描述角速度和刚体运动旋量；指数映射将这些速度与有限位移联系起来。同一框架也提供了坐标变换方法，并构成机器人运动学的数学基础。(modernrobotics.northwestern.edu)

在量子场论中，连续内部对称性通过李群及其表示来刻画。标准模型通常用规范群的直积 $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ 来描述。物质场按照群的表示进行变换，而无穷小规范变换则使用相应的李代数。(tpi.uni-jena.de)

标准的有限维理论并不能自动涵盖所有连续变化的变换群。微分同胚群和规范变换空间通常是无限维的，需要额外的分析结构。即使在有限维情形下，当问题涉及覆盖群、不连通分支，或某个给定群上究竟存在哪些表示时，也必须在无穷小计算之外补充整体信息。(ocw.mit.edu)

参考来源

745 F20 Lecture 02: Lie Groups Iocw.mit.edu
745 F20 Lecture 03: Lie Groups IIocw.mit.edu
745 F20 Lecture 04: Homogeneous Spaces and Lie Group Actionsocw.mit.edu
745 F20 Lecture 06: Classical Lie Groupsocw.mit.edu
745 F20 Lecture 07: The Exponential Map of a Lie Groupocw.mit.edu
745 F20 Lecture 08: Lie Algebrasocw.mit.edu
745 F20 Lecture 09: Fundamental Theorems of Lie Theoryocw.mit.edu
Lie Algebrasmath.mit.edu
Math 210C: Compact Lie Groups — Lecture Notesmath.stanford.edu
Math 210C: Lie Theorymath.stanford.edu
Sophus Lie (1842–1899) — Biographymathshistory.st-andrews.ac.uk
Chapter 3 — Modern Roboticsmodernrobotics.northwestern.edu