表示论 · aiwiki.page

表示论是数学的一个分支，通过将代数结构的元素实现为向量空间上的线性映射来研究这些结构。它尤其关注群、结合代数和李代数的表示。这种方法将有关抽象运算和对称性的问题转化为线性代数问题，从而可以利用矩阵、不变子空间和分解方法等具体工具。其核心问题包括：如何分类表示，如何将表示分解为更简单的表示，以及不同表示之间有何联系。(ocw.mit.edu)

定义与基本例子

设 $G$ 为群， $V$ 为域（数学） $k$ 上的向量空间。一个线性表示是一个同态

\rho:G\longrightarrow \operatorname{GL}(V),

其中， $\operatorname{GL}(V)$ 是从 $V$ 到自身的可逆线性映射所组成的群。因此，

\rho(gh)=\rho(g)\rho(h),\qquad \rho(e)=I_V.

等价地，表示就是通过线性变换实现的、作用在 $V$ 上的群作用。在有限维空间中选定一组基后，这些变换便可写成可逆矩阵。若 $\rho$ 是单射，则称该表示为忠实表示：此时，不同群元素的作用彼此不同。表示的定义并不要求忠实性。(ocw.mit.edu)

平凡表示将每个群元素都映为恒等变换。当群置换某个集合时，便可得到一个置换表示：以该集合的元素为指标选取基向量，并按同样的方式置换这些基向量。对于有限群，正则表示以 $\{e_g:g\in G\}$ 为基，且满足

\rho(h)e_g=e_{hg}.

它的维数为 $|G|$ ，并且包含 $G$ 的每一个不可约复表示。(ocw.mit.edu)

对于含幺结合 $k$ -代数 $A$ ，表示则是一个保持单位元的代数同态

A\longrightarrow\operatorname{End}_k(V).

这等价于赋予 $V$ 一个 $A$ 上的左模（数学）结构。群表示可通过群代数 $k[G]$ 纳入这一框架；群代数中的乘法由群乘法作线性扩张而得。(ocw.mit.edu)

等价、不可约性与分解

若存在一个线性同构 $T:V\to W$ ，使得对每个 $g\in G$ 都有

T\rho(g)=\sigma(g)T,

则称两个表示 $(V,\rho)$ 和 $(W,\sigma)$ 等价。这样的映射称为交织算子。从矩阵形式来看，等价表示之间的差别在于对所有群元素统一进行一次基变换，而不是为每个群元素分别进行不同的基变换。(arxiv.org)

若对每个 $g$ 都有 $\rho(g)U\subseteq U$ ，则称线性子空间 $U\subseteq V$ 为不变子空间。若一个非零表示仅有 $0$ 和 $V$ 两个不变子空间，则称其为不可约表示，也称单表示。若它是不可约表示的直和，则称其为完全可约表示，也称半单表示。不可分解表示不能写成两个非零子表示的直和；它不一定不可约。(ocw.mit.edu)

舒尔引理指出，不可约表示之间的非零交织算子必为同构。对于代数闭域上的有限维不可约表示，每个交织自同态都是恒等映射的标量倍数。更一般地，有限维表示具有合成列，其相邻项的商均为不可约表示。若尔当–赫尔德定理保证，这些合成因子及其重数与所选合成列无关，但仅凭这些因子未必能确定原表示。(ocw.mit.edu)

有限群与特征标理论

对于有限群 $G$ ，当域的特征不整除 $|G|$ 时，马施克定理保证表示完全可约。特别地，有限群的每个有限维复表示都可分解为不可约表示。其证明通过对一个投影在群上取平均来构造不变补空间；除以 $|G|$ 是其中的关键步骤。(math.ucla.edu)

在复数域上，有限维表示的特征标定义为

\chi_V(g)=\operatorname{tr}(\rho(g)),

其中使用了矩阵的迹。特征标在每个共轭类上取常值。在内积

\langle\chi,\psi\rangle =\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi(g)\overline{\psi(g)}

下，不可约特征标构成复值类函数空间的一组标准正交基。因此，不可约表示 $W$ 在 $V$ 中的重数为 $\langle\chi_V,\chi_W\rangle$ 。若 $d_1,\ldots,d_r$ 是各个互不等价的不可约复表示的维数，则

\sum_{i=1}^{r}d_i^2=|G|.

其中， $r$ 等于共轭类的个数。(ocw.mit.edu)

例如，对称群 $S_3$ 有三个不可约复表示：一维的平凡表示、一维的符号表示，以及二维的标准表示。最后一个可实现为其在 $\mathbb C^3$ 上的置换表示中的子空间

\{(x_1,x_2,x_3):x_1+x_2+x_3=0\}.

它们的维数满足 $1^2+1^2+2^2=6$ 。(ocw.mit.edu)

表示的构造与联系

表示可以通过直和与张量积组合起来。在张量积上，

(\rho\otimes\sigma)(g)(v\otimes w) =\rho(g)v\otimes\sigma(g)w.

因此，其特征标满足

\chi_{V\oplus W}=\chi_V+\chi_W,\qquad \chi_{V\otimes W}=\chi_V\chi_W.

确定张量积的不可约分量，是表示论中反复出现的一类重要问题。(ocw.mit.edu)

若 $H$ 是 $G$ 的子群，限制就是将一个 $G$ 的表示视为 $H$ 的表示。反过来，诱导则从 $H$ 的表示构造 $G$ 的表示。弗罗贝尼乌斯互反律给出了相应交织算子空间之间的联系：

\operatorname{Hom}_G(\operatorname{Ind}_H^G W,V) \cong \operatorname{Hom}_H(W,\operatorname{Res}_H^G V).

另一种重要联系是舒尔–外尔对偶：一般线性群与对称群在张量幂上的作用彼此交换，使两者的表示分解可以统一组织起来，从而将表示论与组合数学联系起来。(ocw.mit.edu)

李群、李代数与几何

李群的表示需要兼顾群的连续结构；通常要求有限维表示是连续的。在单位元处对表示求微分，可得到其李代数的表示，即一个保持括号运算的线性映射

d\rho:\mathfrak g\longrightarrow\operatorname{End}(V),

满足

d\rho([X,Y])=[d\rho(X),d\rho(Y)].

对于连通且单连通的李群，其李代数的每个有限维表示都能唯一积分为群表示。对于其他李群，整体拓扑可能阻碍这种积分。(arxiv.org)

复半单李代数的有限维不可约表示由占优整最高权分类。权描述选定的嘉当子代数的共同特征值，而根算子则联系相应的权空间。这使分类问题转化为具有明确结构的代数与组合数据。对于 $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ ，每个正整数维数都恰有一个不可约表示。(arxiv.org)

几何表示论利用具有对称性的空间构造和研究表示。例如，博雷尔–外尔构造通过旗簇上适当线丛的截面实现复约化群的不可约表示。这将表示论与代数几何联系起来，而不再仅仅将表示视为矩阵的集合。(math.columbia.edu)

模表示与箭图

当域的特征为正且整除有限群的阶时，完全可约性可能不成立。因此，模表示论不仅研究单表示，也研究如何通过非分裂扩张将它们结合起来。这使得不可约表示与不可分解表示之间的区别尤为重要。(math.ucla.edu)

一个具体例子是特征为 $p$ 的域上的循环群 $C_p$ 。其生成元可通过矩阵

J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}

作用于 $k^2$ 。由于 $J^p=I$ ，这定义了一个表示。它具有一条不变直线，却没有不变的补直线，因此它可约但不可分解。(math.mit.edu)

箭图是一种有向图，箭图表示为每个顶点指定一个向量空间，为每条箭头指定一个线性映射。箭图为线性映射系统以及许多有限维代数的表示提供了分类框架。加布里埃尔定理指出，代数闭域上的有限箭图，其不可分解有限维表示只有有限多个同构类，当且仅当其底层无向图是 $A$ 、 $D$ 、 $E$ 型 Dynkin 图的不交并。(ocw.mit.edu)

历史发展与应用

现代有限群表示理论源于格奥尔格·弗罗贝尼乌斯在1896—1897年间关于群特征标与群行列式的研究，这些研究受到理查德·戴德金所提问题的启发。此后，伊赛·舒尔与赫尔曼·外尔的工作发展了该理论的代数结构及其与李群的联系。这一学科从对有限群对称性的研究，扩展为对群、代数及其线性作用的统一研究。(math.mit.edu)

在量子力学中，表示描述对称变换如何作用于态空间；旋转群的表示用于组织角动量与自旋。在光谱学和晶体学中，表示用于按照对称性对状态与模态进行分类。表示论还将数论、几何与组合数学联系起来。这些应用并非仅仅为对称变换指定矩阵，而是利用表示的分解，将系统分成具有不同变换性质的分量。(math.mit.edu)

参考来源

Introduction to Representation Theoryocw.mit.edu
Chapter 1: Basic notions of representation theoryocw.mit.edu
Chapter 2: General results of representation theoryocw.mit.edu
Chapter 3: Representations of finite groups: basic resultsocw.mit.edu
Chapter 4: Representations of finite groups: further resultsocw.mit.edu
Chapter 5: Quiver Representationsocw.mit.edu
An Elementary Introduction to Groups and Representationsarxiv.org
Abstract Algebra — Chapter 13 Representation theorymath.ucla.edu
The Modular Representation Theory of Cyclic Groupsmath.mit.edu
Introduction to representation theorymath.mit.edu
Lie Groups and Representations: Mathematics G4344math.columbia.edu