对称群 · aiwiki.page

集合 $X$ 上的对称群记作 $\operatorname{Sym}(X)$ ，是由 $X$ 到自身的所有双射函数组成的群，其群运算为函数复合。这些双射称为置换。对于含有 $n$ 个元素的有限集，对称群通常记作 $S_n$ 。它是群论中的基本对象：其元素描述了 $n$ 个不同对象的所有可能重排方式。(ocw.mit.edu)

定义与基本性质

对于 $X=\{1,2,\ldots,n\}$ ，

S_n=\{\sigma:X\to X\mid \sigma\text{ 为双射}\}.

采用通常的从右到左的运算约定，

(\sigma\tau)(i)=\sigma(\tau(i)).

因此，最右边的置换先作用。复合满足结合律，恒等置换使每个元素保持不变，而每个置换都有一个逆置换，将其映射反向。这些性质使 $S_n$ 成为一个群。(ocw.mit.edu)

第一个元素的像有 $n$ 种选择，第二个有 $n-1$ 种选择，依此类推。因此，

|S_n|=n!,

其中 $n!$ 是 $n$ 的阶乘。对一个含 $n$ 个元素的集合重新标记，得到的对称群与原群同构，因此这一抽象群取决于元素的数量，而非元素的名称。 $S_0$ 和 $S_1$ 是平凡群； $S_2$ 有两个元素。(ocw.mit.edu)

对称群包含其底层集合上的所有置换。相比之下，置换群可以是这个全体置换所构成的群的任意子群。保持某种附加结构的置换不一定构成整个对称群。(math.mit.edu)

记法与轮换分解

双行记法明确列出各元素的像：

\sigma= \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\ 3&1&2&5&4 \end{pmatrix}.

同一个置换也可以用轮换记法表示为

\sigma=(1\,3\,2)(4\,5).

第一个轮换将 $1$ 映到 $3$ ，将 $3$ 映到 $2$ ，再将 $2$ 映回 $1$ ；第二个轮换交换 $4$ 和 $5$ 。记法中未出现的元素视为保持不变。(math.mit.edu)

有限集上的每个置换都能分解为不相交轮换的乘积。除轮换的排列次序以及各轮换内部记法的循环移位外，这种分解是唯一的。不相交轮换彼此可交换。将每个轮换的方向反转，即可得到逆置换。(bookdown.org)

置换的阶是使 $\sigma^m$ 等于恒等置换的最小正整数 $m$ 。若其不相交轮换的长度为 $\ell_1,\ldots,\ell_r$ ，则

\operatorname{ord}(\sigma) =\operatorname{lcm}(\ell_1,\ldots,\ell_r),

即这些长度的最小公倍数。因此，上例中的置换的阶为 $6$ 。(bookdown.org)

对换交换两个元素，并使其余所有元素保持不变。每个轮换都能写成对换的乘积，因而每个置换也都能如此表示：

(a_1\,a_2\,\cdots\,a_k) =(a_1\,a_k)(a_1\,a_{k-1})\cdots(a_1\,a_2).

这种分解通常并不唯一。(kconrad.math.uconn.edu)

奇偶性与交错群

虽然对换分解不唯一，但分解中对换个数的奇偶性是确定的。如果一个置换能写成偶数个对换的乘积，就称为偶置换；否则称为奇置换。其符号为

\operatorname{sgn}(\sigma)= \begin{cases} +1,&\sigma\text{ 为偶置换},\\ -1,&\sigma\text{ 为奇置换}. \end{cases}

符号映射是一个群同态：

\operatorname{sgn}(\sigma\tau) =\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau).

一个 $k$ -轮换的符号为 $(-1)^{k-1}$ 。等价地，若 $c(\sigma)$ 表示所有不相交轮换的个数，包括由不动点构成的轮换，则 $\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{n-c(\sigma)}.$ (kconrad.math.uconn.edu)

偶置换构成交错群 $A_n$ ，它是符号同态的核。当 $n\geq2$ 时，它是一个指数为 $2$ 的正规子群，并且

|A_n|=\frac{n!}{2}.

因此，恰好一半的置换是偶置换，另一半是奇置换。(kconrad.math.uconn.edu)

生成元与关系

相邻对换

s_i=(i\,\,i+1),\qquad 1\leq i<n,

生成 $S_n$ 。它们给出如下群展示：

s_i^2=e,\qquad s_i s_j=s_j s_i\quad(|i-j|>1),\qquad s_i s_{i+1}s_i=s_{i+1}s_i s_{i+1}.

这些关系分别表示重复交换会相互抵消、互不涉及相同元素的交换可以交换次序，以及相邻交换之间的辫子关系。以这些元素为生成元， $S_n$ 是 $A_{n-1}$ 型的考克斯特群。(jmilne.org)

当 $n\geq3$ 时， $S_n$ 不是阿贝尔群。例如，

(1\,2)(2\,3)=(1\,2\,3), \qquad (2\,3)(1\,2)=(1\,3\,2),

因此，改变两个运算的顺序可能会改变结果。(bookdown.org)

共轭与结构性结果

对轮换进行共轭，只是重新标记其中的元素：

\tau(a_1\,\ldots\,a_k)\tau^{-1} =(\tau(a_1)\,\ldots\,\tau(a_k)).

$S_n$ 中的两个元素属于同一个共轭类，当且仅当它们具有相同的轮换长度。因此，共轭类由 $n$ 的整数划分来标记。如果长度为 $i$ 的轮换有 $m_i$ 个，则该共轭类的大小为 $\frac{n!}{\prod_{i=1}^{n}i^{m_i}m_i!}.$ (tomaszlukowski.github.io)

当 $n\geq5$ 时， $A_n$ 是非阿贝尔单群，而 $S_n$ 的正规子群只有 $\{e\}$ 、 $A_n$ 和 $S_n$ 。特别地，对这些 $n$ 值， $S_n$ 本身不是单群。群 $S_4$ 还有一个额外的正规子群： $\{e,(1\,2)(3\,4),(1\,3)(2\,4),(1\,4)(2\,3)\}.$ (jmilne.org)

另一个例外是 $S_6$ 。除 $n=6$ 外， $S_n$ 的每个自同构都是内自同构，即由某个群元素的共轭作用给出。群 $S_6$ 存在外自同构；其外自同构群的阶为 $2$ 。(people.math.harvard.edu)

群作用与凯莱定理

$G$ 在 $X$ 上的一个群作用，等价于一个同态

\rho:G\longrightarrow\operatorname{Sym}(X).

每个群元素都作为一个置换作用，而同态条件保证这种作用与乘法相容。该作用是忠实的，当且仅当 $\rho$ 是单射。(math.mit.edu)

凯莱定理指出，每个群都同构于某个对称群的子群。其构造是让 $G$ 通过左乘作用于自身的底层集合：

\rho(g)(x)=gx.

这一作用是忠实的，因为单位元在 $\rho(g)$ 下的像就是 $g$ 。因此，一个阶为 $m$ 的有限群可以嵌入 $S_m$ ，不过它也可能在更小的集合上具有忠实作用。这一定理并不是说每个群本身都是一个全对称群。(math.mit.edu)

表示论

在表示论中，置换被实现为可逆线性算子。自然置换表示按照下式映射基向量：

P_\sigma e_i=e_{\sigma(i)}.

其矩阵的每一行、每一列都恰有一个元素为 $1$ ，其余元素均为零。这些矩阵满足

P_{\sigma\tau}=P_\sigma P_\tau, \qquad \det P_\sigma=\operatorname{sgn}(\sigma),

从而将置换的奇偶性与行列式联系起来。(kconrad.math.uconn.edu)

在复数域上， $S_n$ 的不可约表示由 $n$ 的划分 $\lambda$ 来标记，这些划分可画成杨图。其维数由钩长公式给出：

\dim V_\lambda =\frac{n!}{\prod_{b\in\lambda}h(b)},

其中， $h(b)$ 是方格 $b$ 本身、它右侧的方格以及它下方的方格的总数。(tomaszlukowski.github.io)

代数应用

在伽罗瓦理论中，可分多项式的分裂域的自同构忠实地置换其根，从而将其伽罗瓦群视为 $S_n$ 的一个子群。在特征为零的域上，系数代数独立的一般多项式的伽罗瓦群是 $S_n$ 。由于 $S_n$ 是可解群当且仅当 $n\leq4$ ，这就解释了为什么五次及更高次方程不存在通用的根式求解公式。不过，某些特定的高次方程仍然可以用根式求解。(jmilne.org)

对称群还通过置换变量作用于多项式环。其不变多项式就是对称多项式。在交换系数环上，每个对称多项式都可以唯一地表示为初等对称多项式的多项式。这将根的置换与方程的系数联系起来。(jmilne.org)

无限集合

当 $X$ 为无限集时， $\operatorname{Sym}(X)$ 的定义仍然适用。它必须与有限支撑对称群区分开来，后者的元素只移动有限多个点。对于可数无限集，逐步允许更多的点被移动，便得到一系列有限对称群；有限支撑对称群就是这些群的并集。它是全对称群的真子群。(jmilne.org)

历史发展

置换群源于对代数方程的研究。1770 年，约瑟夫-路易·拉格朗日考察了由多项式的根构成的表达式在置换下如何变化。随后，埃瓦里斯特·伽罗瓦将方程的可解性与根的置换群的结构联系起来。奥古斯丁-路易·柯西系统地发展了置换理论，包括轮换记法以及共轭与轮换结构之间的关系。阿瑟·凯莱在 1854 年的工作推动了抽象群概念的确立，以及通过置换实现群的方法的发展。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

参考来源

Algebra I Student Notesocw.mit.edu
600: Lecture 1 — Permutations and combinations, Pascal's triangle, learning to countmath.mit.edu
5 Symmetric Groups and Cyclesbookdown.org
The Sign of a Permutationkconrad.math.uconn.edu
Group Theoryjmilne.org
Classification of representations for symmetric groupstomaszlukowski.github.io
Informal lecture notespeople.math.harvard.edu
The Symmetric Groupmath.mit.edu
Fields and Galois Theoryjmilne.org
The development of group theorymathshistory.st-andrews.ac.uk