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数学 / normal-subgroup

正规子群

正规子群是在共轭作用下保持不变的子群，这恰是其陪集能够构成商群的条件。

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群论陪集同态同构整数对称群域（数学）行列式正规子群

正规子群是指 群 GG 的一个 子群 NN，它在 GG 中任意元素的共轭作用下保持不变：对所有 g∈Gg\in G，都有 gNg−1=NgNg^{-1}=N。正规子群在 群论 中至关重要，因为恰好只有正规子群才能通过将其所有元素等同于单位元而得到 商群，而且正规子群恰好就是群同态的核。记号 N⊴GN\trianglelefteq G 或 N⊲GN\lhd G 表示 NN 是 GG 的正规子群。(jmilne.org)

定义与等价条件

对于子群 N≤GN\leq G，以下条件等价：

  • 对每个 g∈Gg\in G，都有 gNg−1=NgNg^{-1}=N。
  • 只要 g∈Gg\in G 且 n∈Nn\in N，就有 gng−1∈Ngng^{-1}\in N。
  • 左右 陪集 相同：对每个 g∈Gg\in G，都有 gN=NggN=Ng。(judsonbooks.org)

运算 n↦gng−1n\mapsto gng^{-1} 称为 共轭。正规性要求子群作为整体保持不变，而不是要求其中每个元素都保持不变。等价地，一个子群是正规子群，当且仅当它是所属群中若干完整的 共轭类 的并。(ocw.mit.edu)

正规性是相对于包含该子群的群而言的：一个子群可能在某个包含它的群中是正规的，而在另一个群中不是。每个子群都是自身的正规子群。(judsonbooks.org)

商群

对于任意子群 NN，其陪集构成集合 G/NG/N。拟定义的乘法

(aN)(bN)=(ab)N(aN)(bN)=(ab)N

能够给出不依赖代表元选择的群运算，当且仅当 NN 是正规子群。在这个商群中，NN 是单位元，而 a−1Na^{-1}N 是 aNaN 的逆元。(jmilne.org)

正规性解释了为什么代表元的选择不影响结果。若 a′=an1a'=an_1、b′=bn2b'=bn_2，其中 n1,n2∈Nn_1,n_2\in N，则

a′b′=an1bn2=ab(b−1n1b)n2.a'b'=an_1bn_2 =ab(b^{-1}n_1b)n_2.

由于 b−1n1b∈Nb^{-1}n_1b\in N，这个乘积属于 abNabN。如果没有正规性，上述推理就可能不成立，因此拟定义的乘法未必能在陪集集合上良好定义。(jmilne.org)

核与同态

对于群 同态 φ:G→H\varphi:G\to H，其 核

ker⁡φ={g∈G:φ(g)=eH}\ker\varphi=\{g\in G:\varphi(g)=e_H\}

是正规子群，因为只要 n∈ker⁡φn\in\ker\varphi，就有

φ(gng−1)=φ(g)φ(n)φ(g)−1=eH.\varphi(gng^{-1}) =\varphi(g)\varphi(n)\varphi(g)^{-1} =e_H.

反过来，每个正规子群都是自然投影 G→G/NG\to G/N 的核。(ocw.mit.edu)

第一同构定理 指出：

G/ker⁡φ≅φ(G).G/\ker\varphi\cong\varphi(G).

因此，将相差一个核中元素的元素视为相同，所得的群与同态的像 同构。(ocw.mit.edu)

例子与反例

阿贝尔群。 阿贝尔群 的每个子群都是正规子群，因为 gng−1=ngng^{-1}=n。在 整数 加法群中，mZm\mathbb Z 是正规子群；当 m≥1m\geq1 时，Z/mZ\mathbb Z/m\mathbb Z 描述模 mm 加法。(judsonbooks.org)

置换群。 交错群 AnA_n 是 对称群 SnS_n 的正规子群：它是符号同态的核，该同态将偶置换映为 11，将奇置换映为 −1-1。当 n≥2n\geq2 时，商群有两个元素。(ocw.mit.edu)

一个具体的反例是 H={e,(12)}≤S3H=\{e,(12)\}\leq S_3。用 (123)(123) 对 (12)(12) 作共轭，得到 (23)∉H(23)\notin H，因此 HH 不是正规子群。这可以直接由共轭判据得出。(judsonbooks.org)

矩阵群。 在 域 FF 上，行列式 为 11 的矩阵构成 GLn(F)\mathrm{GL}_n(F) 的正规子群 SLn(F)\mathrm{SL}_n(F)，因为它们恰好构成行列式同态的核。(jmilne.org)

结构性质

正规子群具有若干有用的封闭性质和对应性质：

  • GG 的任意一族正规子群的交仍是正规子群。
  • 若 N,M⊴GN,M\trianglelefteq G，则它们的集合乘积 NMNM 是正规子群。
  • 正规子群在同态下的原像是正规子群。
  • 正规子群在满同态下的像是正规子群。
  • 若 N⊴GN\trianglelefteq G，则对应 H↦H/NH\mapsto H/N 将 GG 中包含 NN 的子群与 G/NG/N 的子群一一对应起来，并保持它们在各自所属群中的正规性。(math.ucla.edu)

相关概念与应用

特征子群 在其所属群的每个自同构下都保持不变。这比正规性更强，因为正规性只要求在内自同构下保持不变，即在由共轭产生的自同构下保持不变。正规性通常不具有传递性：K⊴NK\trianglelefteq N 且 N⊴GN\trianglelefteq G，未必能推出 K⊴GK\trianglelefteq G。(jmilne.org)

没有非平凡真正规子群的非平凡群称为 单群。素数阶循环群是单群；当 n≥5n\geq5 时，交错群 AnA_n 也是单群。单性涉及的是正规子群，并不意味着完全不存在真子群。(judsonbooks.org)

由形如 aba−1b−1aba^{-1}b^{-1} 的元素生成的 换位子群 [G,G][G,G] 是特征子群，因此也是正规子群。它是使相应商群成为阿贝尔群的最小正规子群。商群 G/[G,G]G/[G,G] 称为阿贝尔化，它记录了强制满足交换律后所保留的群结构。反复取换位子群得到导出列，可用于定义 可解群。(jmilne.org)

参考来源

  1. Group Theory — J. S. Milnejmilne.org
  2. Abstract Algebra: Theory and Applications — Thomas W. Judsonjudsonbooks.org
  3. Abstract Algebra — Chapter 2: Group Theory — Romyar Sharifimath.ucla.edu
  4. RES.18-011 (Fall 2021) Full Lecture Notes: Algebra I Student Notesocw.mit.edu
  5. Group Theory — J. S. Milne, version 3.15jmilne.org