群作用 · aiwiki.page

群作用是一种将群元素对应到集合上的变换的规则，其中单位元对应恒等变换，群的乘法对应变换的复合。它将群论中研究的抽象运算与具体的对称性联系起来，例如对象的置换、图形的旋转以及向量的变换。同一个群可以作用于许多不同的集合，因此，一个作用不仅要指定群，还要说明群元素如何变换特定的对象。(courses.maths.ox.ac.uk)

定义与约定

设 $G$ 是单位元为 $e$ 的群， $X$ 是一个集合。 $G$ 在 $X$ 上的左作用是一个函数

G\times X\longrightarrow X,\qquad (g,x)\longmapsto g\cdot x,

满足：对所有 $g,h\in G$ 和 $x\in X$ ，都有

e\cdot x=x,\qquad (gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x).

第二个条件表示先由 $h$ 作用，再由 $g$ 作用。配备了 $G$ 的作用的集合称为 $G$ -集。(jmilne.org)

每个变换 $x\mapsto g\cdot x$ 都是双射函数，其逆变换为 $x\mapsto g^{-1}\cdot x$ 。等价地，一个作用就是一个群同态

\rho:G\longrightarrow \operatorname{Sym}(X),

其中 $\operatorname{Sym}(X)$ 是由 $X$ 上所有置换组成的对称群，乘法由函数复合给出。因此， $\rho(gh)=\rho(g)\circ\rho(h)$ 。(courses.maths.ox.ac.uk)

右作用记为 $x\cdot g$ ，它满足

x\cdot e=x,\qquad (x\cdot g)\cdot h=x\cdot(gh).

一个左作用可通过 $x\cdot g=g^{-1}\cdot x$ 转化为右作用。这里取逆元至关重要：仅仅将群元素的符号移到另一侧，一般并不能保持作用律。(jmilne.org)

轨道、稳定子与核

$x\in X$ 的轨道为

G\cdot x=\{g\cdot x:g\in G\}.

它由从 $x$ 出发经群作用可以到达的所有点组成。处于同一轨道是一种等价关系，因此各轨道构成 $X$ 的一个划分。所有轨道组成的集合称为轨道集，记作 $X/G$ ，它是一种商集。(ocw.mit.edu)

$x$ 的稳定子，也称迷向子群，为

G_x=\{g\in G:g\cdot x=x\}.

它是 $G$ 的子群。同一轨道内各点的稳定子彼此共轭：

G_{g\cdot x}=gG_xg^{-1}.

作用的核由固定每一个点的群元素组成：

\ker\rho=\bigcap_{x\in X}G_x.

它是 $G$ 的正规子群。与单个点的稳定子不同，核刻画的是哪些群元素在整个作用中都不产生任何可见的变化。(courses.maths.ox.ac.uk)

重要的作用类型包括：

传递作用： $X$ 非空，且只有一个轨道。
忠实作用，也称有效作用： $\ker\rho=\{e\}$ 。
自由作用： 每个点的稳定子都是 $\{e\}$ 。
正则作用，也称单传递作用： 作用既自由又传递。

非空集合上的自由作用是忠实的，但忠实作用未必是自由的。(jmilne.org)

例如，正方形的对称变换在其四个顶点上的作用既忠实又传递。但这个作用并不自由：关于一条对角线的反射会固定该对角线上的两个顶点。若将作用限制为四个旋转变换，则得到正则作用。逐一检查各个对称变换下顶点的像，即可直接验证这些性质。(ocw.mit.edu)

轨道—稳定子定理

对任意 $x\in X$ ，存在自然的双射

G/G_x\longrightarrow G\cdot x,\qquad gG_x\longmapsto g\cdot x,

其中 $G/G_x$ 表示左陪集的集合，不一定是商群。因此，

|G\cdot x|=[G:G_x].

当 $G$ 为有限群时，轨道—稳定子定理写作

|G|=|G\cdot x|\,|G_x|.

因此，轨道的大小整除有限群的阶。(ocw.mit.edu)

要理解这一陪集对应为何成立，只需注意

g\cdot x=h\cdot x \iff h^{-1}g\in G_x \iff gG_x=hG_x.

因此，这个映射恰好将那些把 $x$ 送到同一点的群元素归为一类，而轨道中的每个点都可以这样得到。(ocw.mit.edu)

更一般地，每个传递的 $G$ -集都等价于 $G$ 通过左乘法在某个 $G/H$ 上的作用，其中 $H$ 是 $G$ 的子群。两个这样的传递作用同构，当且仅当它们的稳定子子群彼此共轭。任意 $G$ -集都是这些传递部分的不交并。(jmilne.org)

基本例子

置换。 群 $S_n$ 通过置换在各元素上的取值作用于 $\{1,\ldots,n\}$ 。它也可以作用于子集、有序元组或标签的排列。选择不同的底层集合，就会得到同一个群的不同作用。(courses.maths.ox.ac.uk)

线性变换。 向量空间 $V$ 上的可逆线性映射构成一般线性群 $\operatorname{GL}(V)$ ，它通过将线性映射施于向量而作用于 $V$ 。一个同态 $G\to\operatorname{GL}(V)$ 就是一个线性表示，也是表示论的核心研究对象。(jmilne.org)

乘法与共轭。 每个群都通过左乘法作用于自身，即 $g\cdot x=gx$ 。这一作用是正则的，并将该群嵌入一个置换群；这正是凯莱定理所表述的内容。另一个作用是共轭作用：

g\cdot x=gxg^{-1}.

它的轨道是共轭类，稳定子则是中心化子。(courses.maths.ox.ac.uk)

按对称性计数对象

当有限群作用于有限集合时，伯恩赛德引理给出

|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|\operatorname{Fix}(g)|, \qquad \operatorname{Fix}(g)=\{x:g\cdot x=x\}.

它通过对不动点数取平均，计算将指定的对称变换所关联的对象视为相同后，不同对象的数量。这是组合数学中的基本工具。(courses.maths.ox.ac.uk)

例如，用两种颜色给正方形的四个顶点着色，允许颜色重复，并将可通过旋转相互得到的着色视为相同。顶点带有标号时共有 $16$ 种着色。恒等变换固定全部 $16$ 种；两个四分之一周旋转各固定 $2$ 种；半周旋转固定 $4$ 种。代入公式得到

\frac{16+2+4+2}{4}=6

个旋转等价类。这里不考虑反射；若将反射也纳入考虑，作用群就会改变，需要重新计算不动点数。这个例子说明了为什么通常不能简单地用对象总数除以群的阶：不同对象可能有不同的稳定子。(courses.maths.ox.ac.uk)

保持附加结构的作用

当 $X$ 带有附加结构时，通常要求作用保持这些结构。对于拓扑空间和拓扑群，连续作用要求整体映射 $G\times X\to X$ 连续。对于作用于光滑流形的李群，光滑作用要求这一映射光滑。(math.toronto.edu)

此时，轨道集带有商拓扑，但它未必仍是流形。一个重要的充分条件是：作用光滑、自由且适当。这里，适当性是指映射

G\times M\longrightarrow M\times M,\qquad (g,x)\longmapsto(g\cdot x,x)

为适当映射，即紧集的原像是紧集。在这些假设下， $M/G$ 具有自然的光滑流形结构，投影 $M\to M/G$ 是一个主丛。仅有自由性并不能保证得到这样的商空间。(math.toronto.edu)

带有群作用的空间之间的映射也可以保持对称性。若映射 $f:X\to Y$ 满足

f(g\cdot x)=g\cdot f(x),

则称它为等变映射。双射的等变映射是 $G$ -集之间的同构。等变性将保持指定作用的对应与底层集合之间的任意对应区分开来。(jmilne.org)

参考来源

Group Theoryjmilne.org
RES.18-011 (Fall 2021) Full Lecture Notes: Algebra I Student Notesocw.mit.edu
M1: Groups and Group Actions (2021-22)courses.maths.ox.ac.uk
Groups and Group Actions: Lecture Notescourses.maths.ox.ac.uk
Group Actionsmath.toronto.edu