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数学 / manifold

流形

流形是局部类似欧几里得空间的空间，为研究形状、坐标和几何结构提供了统一框架。

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数学拓扑学微分几何拓扑空间实数同胚开集偏导数流形

流形是数学中的一种空间，在每一点附近都类似于某个固定维数的普通欧几里得空间，即使其整体形状与之不同。圆周在局部类似于直线，而球面在局部类似于平面。这种局部相似性涉及坐标和连续性，并不一定涉及距离或曲率。流形为拓扑学、微分几何以及物理学中的数学模型提供了共同的框架。(preposterousuniverse.com)

定义与局部坐标

按照标准定义，nn 维拓扑流形是满足以下三个条件的拓扑空间 MM：

  • **局部欧几里得性：**每一点都有一个开邻域，与 Rn\mathbb{R}^n 的某个开子集同胚。
  • **豪斯多夫性：**任意两个不同的点都有互不相交的开邻域。
  • **第二可数性：**其拓扑具有可数的开集基。

这里，Rn\mathbb{R}^n 由实数组成的有序 nn 元组构成。同胚是一个双射，且它及其逆映射均连续。这些要求排除了一些病态空间，同时仍允许整体结构具有相当高的复杂性。(math.colostate.edu)

一个坐标图是一个二元组 (U,φ)(U,\varphi)，其中 UU 是 MM 中的开集，而

φ:U⟶φ(U)⊆Rn\varphi:U\longrightarrow\varphi(U)\subseteq\mathbb{R}^n

是同胚。它的各个分量函数为点赋予局部坐标。图册是一组定义域覆盖整个流形的坐标图。在定义域的重叠部分，过渡映射 ψ∘φ−1\psi\circ\varphi^{-1} 将一套坐标表示为另一套坐标的函数。流形通常需要多个坐标图，而不能仅靠一套全局坐标系描述。(people.maths.ox.ac.uk)

光滑结构与复结构

光滑流形具有一个图册，其过渡映射存在各阶连续偏导数。这样的图册确定了一个极大的相容图册，称为光滑结构。光滑性使得微积分能够在流形上一致地进行：当一个函数或映射的坐标表达式光滑时，就称其为光滑函数或光滑映射，这一性质不依赖于所选用的相容坐标图。拓扑流形本身并不指定这种额外结构。(people.maths.ox.ac.uk)

如果两个光滑流形之间存在一个光滑双射，且其逆映射也光滑，就称它们微分同胚。这是一种比同胚更强的等价关系，因为它不仅保持拓扑结构，还保持可微结构。介于连续与光滑之间的 CkC^k 结构只要求直到 kk 阶的导数存在且连续。(people.maths.ox.ac.uk)

复流形则使用取值于 Cm\mathbb{C}^m 的坐标图，并要求过渡映射为全纯映射。其底层实流形的维数为 2m2m。这种相容性要求比通常的光滑性更强，并将流形理论与复分析联系起来。(people.maths.ox.ac.uk)

示例、维数与边界

欧几里得空间本身就是流形。球面

Sn={x∈Rn+1:∑i=1n+1xi2=1}S^n=\left\{x\in\mathbb{R}^{n+1}:\sum_{i=1}^{n+1}x_i^2=1\right\}

的维数为 nn，尽管上述表示将它置于一个 n+1n+1 维的环境空间中。因此，维数计算的是局部坐标的个数，而不是描述嵌入时所用坐标的个数。实射影空间是另一个 nn 维例子，其中每一个点对应于 Rn+1\mathbb{R}^{n+1} 中一条经过原点的直线。(math.colostate.edu)

环面 T2=S1×S1T^2=S^1\times S^1 是一个二维流形。更一般地，维数分别为 mm 和 nn 的流形的笛卡尔积，其维数为 m+nm+n。李群是带有相容群运算的光滑流形，旋转群就是其中的例子。相比之下，分叉处在局部并不像一个区间，因此不是一维流形。(preposterousuniverse.com)

对于带边界流形，坐标图可以取值于半空间

Hn={x∈Rn:xn≥0}\mathbb{H}^n=\{x\in\mathbb{R}^n:x_n\geq0\}

的相对开子集。闭圆盘是一个二维带边界流形，其边界是圆周。球面虽然在环境空间中围成一个球体，但它本身并没有流形意义上的边界。要处理角点，还需要进一步扩展坐标图所用的模型。(people.maths.ox.ac.uk)

切空间与几何结构

在光滑 nn 维流形的每一点 pp 处，切空间 TpMT_pM 是一个表示无穷小方向的 nn 维向量空间。光滑映射 f:M→Nf:M\to N 的微分是一个线性映射

dfp:TpM⟶Tf(p)N.df_p:T_pM\longrightarrow T_{f(p)}N.

它在坐标下的表示就是雅可比矩阵。切向量可以内在地定义，无须将流形置于更大的欧几里得空间中。(preposterousuniverse.com)

黎曼度量为每个切空间赋予一个随所在点光滑变化的正定内积。它的局部分量构成度量张量，由此确定长度、角度和体积。在连通流形上，两点之间的距离由连接这两点的曲线长度的下确界给出。测地线是协变加速度为零的曲线；测地线并不一定在全局上使距离最短。(people.maths.ox.ac.uk)

度量确定了莱维-奇维塔联络，使我们能够沿曲线对向量场求导。其曲率由黎曼曲率张量描述。因此，拓扑、光滑结构和度量几何是不同层次的结构：一个流形可以具有不同的度量，而不改变其底层光滑结构。(people.maths.ox.ac.uk)

应用

在广义相对论中，时空被建模为带有洛伦兹度量的四维光滑流形。与黎曼度量不同，这种度量是不定的，能够区分时间方向与空间方向。坐标系用于描述时空的局部区域，而不是物理几何本身。(preposterousuniverse.com)

在机器学习中，流形假设认为，某些高维数据集中分布在一个较低维流形附近。流形学习方法尝试利用这一结构来进行降维和表征。这是针对特定数据分布的建模假设，而不是任意数据集都必须满足的定理。(arxiv.org)