多面体

在初等几何学中，多面体是由有限个平坦的多边形面、直线棱和顶点围成的三维立体。常见例子包括立方体、四面体和棱锥。英语中的复数形式为 polyhedra 或 polyhedrons。多面体的含义因数学语境而异：初等几何强调多边形表面，而凸数学则通过线性不等式定义多面体，允许其无界，也允许其维数不等于三。多胞体则是任意维空间中相应的有界凸对象。(mathworld.wolfram.com)

面、棱和顶点

普通的不自交多面体立体，其边界由多边形面拼接而成。两个相邻的面沿一条棱相交，棱则在顶点处相交。对于构成二维流形的封闭多面体表面，每条棱恰好属于两个面，每个顶点周围的面排列成单一的环。有边界、分支或奇点的表面则不一定满足这些条件。在判断一组多边形构成的是普通立体的边界，还是更一般的多面体对象时，这一区别十分重要。(mathworld.wolfram.com)

对于三维凸多胞体，顶点、棱和多边形面分别是它的零维面、一维面和二维面。这些二维面也称为刻面。更一般地，$d$ 维多胞体的刻面维数为 $d-1$。因此，在高维数学中，“面”的含义比初等几何中的通常含义更广。(ti.inf.ethz.ch)

描述多面体的信息分为两类：

• **几何信息：**顶点的位置，以及由此确定的长度、角度和形状。
• **组合信息：**哪些顶点位于哪些棱和面上，以及哪些面彼此相邻。

计算机表示通常同时存储顶点坐标及这些关联关系和邻接关系。两个对象可以具有相同的组合结构，却具有不同的几何形状：改变坐标不一定会改变各部分之间的连接方式。(groups.csail.mit.edu)

凸多面体与线性不等式

如果一个立体中任意两点之间的线段都完全位于该立体内，这个立体就是凸的。用凸集的语言来说，凸多面体是有限个闭半空间的交集。在欧几里得空间 $\mathbb{R}^{n}$ 中，它可以写成

其中 $A$ 是实矩阵，$b$ 是向量，不等式按分量理解。每一行给出一个线性不等式；当其法向量非零时，该不等式所定义区域的边界是一个超平面。(math.mit.edu)

这一定义不要求多面体有界，也不要求其内部非空。例如，区域 $x,y,z\geq0$ 是一个无界多面体，而位于某个平面内的正方形则是三维空间中的低维多面体。等式可以表示为一对方向相反的不等式。这些例子说明，凸数学中的定义比“具有多边形面的三维立体”更为宽泛。(courses.csail.mit.edu)

对于非空有界对象，以下两种描述等价：

• H 表示将其描述为有限个半空间的交集。
• V 表示将其描述为有限个点的凸包。

特别地，有界凸多面体就是其顶点的凸包。在这两种表示之间进行转换，是多面体计算中的核心问题；根据转换方向不同，这一问题称为顶点枚举或刻面枚举。(people.inf.ethz.ch)

主要类别

凸正多面体

五种凸正多面体就是柏拉图立体。它们的面都是全等的正多边形，而且每个顶点处的面排列方式都相同：

它们的分类源于正多边形在凸顶点处相接时所受的限制。如果每个面有 $p$ 条边，每个顶点处有 $q$ 个面相交，那么这些面在该顶点处的内角之和必须小于 $2\pi$，即

对于整数 $p,q\geq3$，仅有的可能取值是 $(3,3)$、$(4,3)$、$(3,4)$、$(5,3)$ 和 $(3,5)$，分别对应上表列出的五种立体。(math.mit.edu)

均匀多面体及其他以正多边形为面的多面体

均匀多面体的面都是正多边形，而且其对称群在顶点上具有传递性：通过整个对象的某种对称变换，任意一个顶点都可以映射到任意另一个顶点。凸均匀多面体包括柏拉图立体、十三种阿基米德立体，以及均匀棱柱和反棱柱这两类多面体。阿基米德立体具有不止一种面，按惯例不包括棱柱和反棱柱。(math.harvard.edu)

整体对称性是比“每个顶点处的局部多边形排列顺序相同”更强的条件。例如，延长四角异相双丸塔在每个顶点处都有相同的局部面排列，但它并不是阿基米德立体。区分这两个概念，可以避免将纯粹的局部描述误认为顶点传递性。(pi.math.cornell.edu)

非凸多面体与星形多面体

非凸多面体可以有凹陷，而其表面并不自交。更宽泛的定义也允许星形多面体，其多边形面或表面可以相交。在允许正星形多边形的经典定义下，除了五种凸正多面体外，还有四种正星形多面体，称为开普勒—庞索多面体。解释这些对象的边界及其围成的区域时需要谨慎；初等几何中对立体的理解不能直接套用到它们身上。(mathworld.wolfram.com)

欧拉公式与拓扑学

对于三维凸多面体，顶点数、棱数和面数满足

这就是欧拉多面体公式。例如，立方体满足 $8-12+6=2$。这个公式反映的是边界的拓扑学性质，而不是其具体尺寸：凸多面体的边界与球面具有相同的拓扑结构。(math.mit.edu)

$V-E+F$ 是该表面多边形剖分的欧拉示性数。因此，这一公式也适用于边界为拓扑球面的非凸多面体。它并非无需附加条件就适用于所有被称为多面体的对象。对于具有柄、边界、奇点或自交的表面，必须采用适当的拓扑解释。对于亏格为 $g$ 的连通闭可定向曲面，其欧拉示性数为 $2-2g$。(pages.vassar.edu)

欧拉公式还为凸正多面体的分类提供了组合约束。如果每个面有 $p$ 条棱，每个顶点处有 $q$ 条棱相交，通过双重计数可得

代入欧拉公式后得到

由此可再次得出与面内角论证相同的五组可能取值。(math.mit.edu)

对偶性

对偶多面体将顶点与刻面的角色互换，同时保留相应的关联关系。在三维情形中，棱与棱对应。对于内部包含原点的满维凸多胞体 $P$，一种几何构造是取其极对偶：

这里，$y^\mathsf{T}x$ 是标准内积。$P$ 的一个 $k$ 维面对应于 $P^\circ$ 的一个 $(n-k-1)$ 维面。(www2.math.ethz.ch)

立方体与正八面体互为对偶，正十二面体与正二十面体也互为对偶；正四面体在组合意义上是自对偶的。对偶性解释了这些对偶配对中顶点数与面数的互换。组合对偶由关联结构确定，而其具体的几何实现则取决于所采用的构造。(people.inf.ethz.ch)

刚性

多面体刚性研究的是：当各面保持刚性、各棱像铰链一样活动时，对象能否改变形状。1813 年证明的柯西刚性定理指出，若两个凸多面体的对应面全等，且面的邻接关系相同，那么这两个多面体全等。因此，凸多面体在保持各面及其连接关系不变的情况下，不能连续挠曲变形。(webspace.maths.qmul.ac.uk)

凸性是这一结论的关键条件。可以挠曲的非凸多面体确实存在，因此不能仅凭一个对象具有多边形面，就断定它具有刚性。还必须区分保持面不变的刚性与棱框架的刚性：仅固定棱长，仍可能允许非三角形面改变形状。(webspace.maths.qmul.ac.uk)

历史发展与应用

古希腊时期，人们就已经开始研究正多面体。柏拉图在《蒂迈欧篇》中讨论了五种正多面体，而《几何原本》则给出了它们的数学构造和分类。后来的研究将这一领域从正多面体扩展到拓扑、刚性、凸性和算法表示等方面。(mathworld.wolfram.com)

在线性规划中，可行集是由线性约束定义的多面体。多面体几何为研究其顶点、面和无界方向，以及分析其上的线性目标函数，提供了描述语言。(courses.csail.mit.edu)

在计算机图形学和实体建模中，多边形网格通过顶点、棱和多边形面来表示表面，其中面通常为三角形。这类表示可用于渲染、碰撞检测和刚体计算。表面网格显式存储的是边界，而不是内部体积。此外，一组多边形并不一定构成有效的封闭立体边界：必须将存在相交、间隙和非流形连接的情况与普通的多面体表面区分开来。(cs.cmu.edu)

参考来源

1. Polyhedron — Wolfram MathWorldmathworld.wolfram.com
2. Linear Programming — MIT 6.854 Lecture Notescourses.csail.mit.edu
3. Frequently Asked Questions in Polyhedral Computationpeople.inf.ethz.ch
4. Geometry: C&A 2024 — Convex Polytopesti.inf.ethz.ch
5. MIT 6.838/4.214 — Meeting 5groups.csail.mit.edu
6. Homology — Chapter 11pages.vassar.edu
7. Triangles, Squares, Pentagonspi.math.cornell.edu
8. Kepler–Poinsot Polyhedron — Wolfram MathWorldmathworld.wolfram.com
9. Convex Bodieswww2.math.ethz.ch
10. Notes on the Rigidity of Graphswebspace.maths.qmul.ac.uk