超平面 · aiwiki.page

超平面是一个平直子空间，其维数（向量空间）比所在空间的维数小一。在二维空间中，它是一条直线；在三维空间中，它是一个平面；在一维空间中，它是一个点。其精确定义取决于所在空间是向量空间、仿射空间还是射影空间。超平面为线性方程、几何分离和分类问题提供了统一的表述方式。(ee263.stanford.edu)

定义与坐标表示

在实坐标空间 $\mathbb{R}^n$ 中，仿射超平面的形式为

H=\{x\in\mathbb{R}^n:a^\mathsf{T}x=b\}, \qquad a\ne0,

其中， $a=(a_1,\ldots,a_n)$ 是系数向量， $b$ 是标量。等价地，定义它的方程为

a_1x_1+\cdots+a_nx_n=b.

系数向量非零这一条件至关重要：若 $a=0$ ，该方程定义的集合要么是整个空间，要么是空集，而不是超平面。将 $a$ 和 $b$ 同时乘以同一个非零标量，所定义的集合保持不变。因此，超平面的定义方程并不唯一。(ee263.stanford.edu)

当 $b=0$ 时，超平面包含原点，是一个线性子空间，通常称为线性超平面或向量超平面。对于任意 $b$ ，选取任意一点 $x_0\in H$ ，便有

H=x_0+\{v:a^\mathsf{T}v=0\}.

因此，仿射超平面是线性超平面经平移得到的集合。它不一定对向量加法或标量乘法封闭。这两类超平面都是仿射集，也都是凸集。(stanford.edu)

代数刻画

不依赖坐标的定义使用非零线性映射 $f:V\to K$ ，其中 $K$ 是底域（数学）。这种取值为标量的映射称为线性泛函。线性超平面恰好是形如

H=\ker f=\{v\in V:f(v)=0\}

的集合。

反过来，每个余维数为一的线性子空间都是某个非零线性泛函的核。定义同一超平面的泛函之间只相差一个非零标量因子。(people.clas.ufl.edu)

当 $V$ 为有限维空间时，秩—零化度定理说明了超平面的维数：非零泛函的像是一维的，因此其核的维数为 $\dim V-1$ 。更一般地，余维数为一意味着商向量空间 $V/H$ 的维数为一。这种表述也适用于无限维向量空间。相关泛函属于对偶空间 $V^*$ 。(people.clas.ufl.edu)

超平面还可以描述线性方程组中的单个约束。对于有解的方程组 $Ax=c$ ，若未知数有 $n$ 个，且矩阵的秩为 $r$ ，则解集是维数为 $n-r$ 的仿射子空间。因此，多个超平面约束共同确定的集合不一定仍是超平面：相互独立的约束会进一步降低维数。(ee263.stanford.edu)

法向量、距离与投影

在实欧几里得空间中， $a$ 垂直于 $H$ 内的每个方向，称为法向量。事实上， $H$ 上任意两点之差满足 $a^\mathsf{T}(x-y)=0$ 。这种解释用到了欧几里得内积；代数定义本身并不需要垂直这一概念。(ee263.stanford.edu)

点 $p$ 到 $H$ 的欧几里得距离为

d(p,H)=\frac{|a^\mathsf{T}p-b|}{\|a\|_2}.

去掉绝对值便得到有向的带符号距离。选定定向后，其符号表示 $p$ 位于超平面的哪一侧。离 $p$ 最近的点，即 $p$ 在 $H$ 上的正交投影，为

\operatorname{proj}_H(p) =p-\frac{a^\mathsf{T}p-b}{\|a\|_2^2}a.

例如，平面 $x+2y+2z=3$ 的法向量为 $(1,2,2)$ ；代入距离公式可知，该平面到原点的距离为 $1$ 。(cs.cmu.edu)

半空间与凸几何

实仿射超平面将 $\mathbb{R}^n$ 分成两个开半空间，分别由 $a^\mathsf{T}x<b$ 和 $a^\mathsf{T}x>b$ 确定。将严格不等式换成非严格不等式，便得到两个以 $H$ 为共同边界的闭半空间。这种描述依赖于实数的序关系，并非任意域上的超平面都自然具有的性质。(stanford.edu)

支撑超平面与一个凸集相交，并使整个凸集位于同一个闭半空间内。分离超平面将两个集合置于相对的两侧，有时允许集合与边界接触。超平面分离定理保证，有限维实空间中两个非空、不相交的凸集可以被弱分离；严格分离则需要额外的条件。(stanford.edu)

在线性规划中，仿射不等式定义半空间，这些半空间的交集构成可行集。非常值线性目标函数的等值集是一族平行超平面。当最优值能够取到时，相应的等值超平面就是可行集的支撑超平面，从而为优化提供了几何解释。(web.stanford.edu)

机器学习

在机器学习中，分类器可以根据 $w^\mathsf{T}x+\beta$ 的符号分配标签。当 $w\ne0$ 时，其决策边界是超平面。如果这样的边界能将两个带标签的样本集合严格置于相对的两侧，则这两个集合具有线性可分性。(cs229.stanford.edu)

硬间隔支持向量机选择一个分离超平面，使其到训练数据的最小距离最大化。当标签为 $y_i\in\{-1,1\}$ 时，其标准约束为 $y_i(w^\mathsf{T}x_i+\beta)\ge1$ ，并以最小化 $\tfrac12\|w\|_2^2$ 为目标。软间隔变体允许违反这些约束。使用核方法时，分离超平面位于变换后的特征空间中，而它在原始输入空间中对应的边界可能是非线性的。(cs229.stanford.edu)

射影超平面

在射影几何中， $\mathbb{P}^n(K)$ 内的超平面具有射影维数 $n-1$ 。在齐次坐标中，它由方程

a_0x_0+\cdots+a_nx_n=0

定义，其中系数不全为零。由于齐次坐标在相差一个非零倍数时表示同一个点，将某个代表坐标整体乘以非零标量不会改变该方程的成立与否。射影超平面与对偶向量空间所对应的射影空间中的点一一对应，这是射影对偶的一个基本实例。(cis.upenn.edu)