齐次坐标 · aiwiki.page

齐次坐标是一种坐标系，用 $n+1$ 个数表示 $n$ 维空间中的一个点；若两组数相差一个共同的非零因子，它们就表示同一个点。齐次坐标是射影几何的基础：普通点和无穷远点都可以用有限的坐标值描述。它还允许通过矩阵乘法表示平移和透视变换，因此在计算机图形学和计算机视觉中十分有用。(e.math.cornell.edu)

定义

设 $K$ 为一个域，例如实数域或复数域。射影空间 $\mathbb P^n(K)$ 由 $K^{n+1}$ 中的非零数组按以下等价关系归类而成：

(X_1,\ldots,X_n,W)\sim (\lambda X_1,\ldots,\lambda X_n,\lambda W), \qquad \lambda\in K\setminus\{0\}.

因此，一个点就是一个等价类，通常记作

[X_1:\cdots:X_n:W].

其中各分量就是该点的齐次坐标。全零数组不包括在内，因为它不能确定一个一维子空间。等价地，射影点对应于向量空间 $K^{n+1}$ 的一维线性子空间。(ocw.mit.edu)

例如，

[2:4:2]=[1:2:1]=[-3:-6:-3].

它们是同一个点的不同代表，而不是三个不同的点。额外的坐标引入的是尺度上的冗余，并非额外的几何维度。(e.math.cornell.edu)

仿射坐标与无穷远点

当 $W\neq0$ 时，除以 $W$ 就得到普通坐标：

[X_1:\cdots:X_n:W] \longmapsto \left(\frac{X_1}{W},\ldots,\frac{X_n}{W}\right).

反过来，普通点 $(x_1,\ldots,x_n)$ 可以表示为

[x_1:\cdots:x_n:1].

这样就将一个仿射空间与射影空间中 $W\neq0$ 的部分对应起来。通过除法恢复普通坐标的过程称为去齐次化；在图形学中，相应操作常称为透视除法。(visionbook.mit.edu)

满足 $W=0$ 的点位于无穷远超平面上。在实射影平面中，点 $[a:b:0]$ 表示一组平行仿射直线的共同方向。方向相反的向量确定同一个射影方向，因为 $[a:b:0]=[-a:-b:0]$ 。这些点的齐次坐标是有限的，但在所选坐标图中没有有限的仿射坐标。(ocw.mit.edu)

有限点与无穷远点的区别取决于所选的仿射坐标图。任何非零坐标都可以归一化为 $1$ ，由此得到的 $n+1$ 个坐标图覆盖整个射影空间。集合 $W=0$ 是一个与 $\mathbb P^{n-1}(K)$ 同构的超平面；在选定坐标图之前，它在内在意义上并无特殊地位。(ocw.mit.edu)

直线、关联与交点

在射影平面中，直线的方程为

aX+bY+cW=0,

其中 $(a,b,c)\neq(0,0,0)$ 。其系数也只确定到一个共同的非零因子。将点写成 $p=(X,Y,W)^{\mathsf T}$ ，将直线的系数写成 $\ell=(a,b,c)^{\mathsf T}$ ，则点与直线的关联关系可表示为

\ell^{\mathsf T}p=0.

对于两个不同的点，连接它们的直线可以用它们的叉积表示：

\ell=p_1\times p_2.

类似地，两条不同直线的交点为

p=\ell_1\times\ell_2.

这些公式以同样的方式处理有限交点和无穷远交点，也体现了射影几何中点与直线之间的对称性。(homepages.inf.ed.ac.uk)

例如，平行的仿射直线 $y=1$ 和 $y=3$ 的系数向量为

\ell_1=(0,1,-1),\qquad \ell_2=(0,1,-3).

它们的叉积为 $(-2,0,0)$ ，所以射影交点为 $[1:0:0]$ ，即无穷远处的水平方向。如果两条直线重合，其系数向量成比例，叉积为零，因而不能确定唯一的交点。这些结论可直接由关联关系的公式得出。(homepages.inf.ed.ac.uk)

变换的矩阵表示

仿射变换

一个仿射映射

x'=Ax+t

可以在齐次坐标中表示为

\begin{pmatrix}x'\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A&t\\ 0^{\mathsf T}&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}.

这使平移成为更高维坐标空间中线性映射的一部分。非零平移不能用作用于 $x$ 的普通 $n\times n$ 线性变换表示，因为任何线性映射都保持原点不变。(cs.cmu.edu)

例如，沿 $(t_x,t_y)$ 平移所用的矩阵为

T= \begin{pmatrix} 1&0&t_x\\ 0&1&t_y\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.

旋转、缩放和错切也有类似的表示。连续进行的变换可以通过矩阵乘法合成。采用列向量约定时，先施加 $H_1$ ，再施加 $H_2$ ，得到的合成矩阵为 $H_2H_1$ ；变换的先后顺序通常会影响结果。二维变换使用 $3\times3$ 矩阵，三维变换使用 $4\times4$ 矩阵。(cs.cmu.edu)

射影变换

可逆的 $(n+1)\times(n+1)$ 矩阵 $H$ 通过下式定义射影变换：

[p]\longmapsto[Hp].

将 $H$ 乘以一个非零标量不会改变这一变换。在二维情形中，将矩阵元素记作 $h_{ij}$ ，可得

x'=\frac{h_{11}x+h_{12}y+h_{13}} {h_{31}x+h_{32}y+h_{33}}, \qquad y'=\frac{h_{21}x+h_{22}y+h_{23}} {h_{31}x+h_{32}y+h_{33}}.

因此，对齐次坐标代表所做的线性运算，在仿射坐标中成为分式变换。分母为零意味着变换后的点位于目标坐标图的无穷远处，而不是射影变换没有定义。(pages.mtu.edu)

射影变换保持直线和关联关系，但通常不保持欧几里得长度、角度或平行性。因此，齐次坐标本身并不能提供欧几里得空间的度量结构。(pages.mtu.edu)

透视成像

理想透视相机使用一个 $3\times4$ 矩阵，将三维点映射到二维图像：

s \begin{pmatrix}u\\v\\1\end{pmatrix} = P \begin{pmatrix}X\\Y\\Z\\1\end{pmatrix}, \qquad P=K[R\mid t].

这里， $K$ 描述相机内参， $R$ 和 $t$ 描述从世界坐标到相机坐标的变换。因子 $s$ 体现了图像点的坐标代表所具有的任意尺度。齐次记法将坐标变换和透视投影整合到一个矩阵方程中。(docs.opencv.org)

这种相机投影不同于可逆的射影变换：它的矩阵不是方阵，同一条视线上的多个场景点可能产生同一个图像点。相机中心被映射为零向量，因此没有定义明确的图像点。齐次坐标使这些区别清晰可见，而不是消除它们。(16385.courses.cs.cmu.edu)

齐次多项式方程

在代数几何中，齐次坐标与齐次多项式配合使用。如果一个 $d$ 次多项式 $F$ 的每个单项式的总次数都是 $d$ ，则称其为齐次多项式，并有

F(\lambda X_1,\ldots,\lambda W) =\lambda^dF(X_1,\ldots,W).

它的数值通常取决于所选的代表，但条件 $F=0$ 与代表的选择无关。因此，齐次方程能够定义射影空间中明确的子集。(math.mit.edu)

总次数为 $d$ 的仿射多项式 $f(x_1,\ldots,x_n)$ 可以通过构造下式进行齐次化：

F(X_1,\ldots,X_n,W) = W^d f\left(\frac{X_1}{W},\ldots,\frac{X_n}{W}\right).

展开后，所得表达式是一个多项式，在 $W=0$ 时也有定义。例如，圆的方程

x^2+y^2=1

变为射影圆锥曲线

X^2+Y^2-W^2=0.

令 $W=1$ 即可恢复仿射方程；令 $W=0$ 则可确定其无穷远点。对于多项式方程组，求射影闭包时需要谨慎：仅将选定的一组生成元齐次化，可能会在无穷远处引入不需要的分支。(math.mit.edu)

历史发展

奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯在其1827年的著作《重心演算》（Der barycentrische Calcul）中引入了齐次坐标。他的方法与重心坐标有关，后者通过赋予参考点的权重来描述点的位置。尤利乌斯·普吕克于1831年修改了这一坐标框架，推动了如今用于实射影平面的表示方式的发展。这些进展将几何变换与代数坐标方法联系起来。(notes.math.ca)

局限与约定

齐次坐标是一种冗余表示，因此普通向量运算需要加以解释。将任意选取的代表相加，并不能定义射影点的内在加法：把其中一个代表换成它的标量倍数，可能改变相加后得到的点。同样，也不能直接从任意齐次坐标数组计算欧几里得距离。这类运算需要选定一个仿射坐标图，并在必要时引入额外的度量结构。(visionbook.mit.edu)

不同约定会将齐次化坐标放在首位或末位，并采用行向量或列向量。相应的矩阵公式必须作一致的调整。最重要的是，追加 $1$ 只能表示某个特定仿射坐标图中的有限点；完整的坐标系还包括齐次化坐标为零的非零数组。(ocw.mit.edu)

参考来源

CSP problems 1e.math.cornell.edu
38 Representing Images and Geometry – Foundations of Computer Visionvisionbook.mit.edu
782 Arithmetic Geometry Lecture Note 13ocw.mit.edu
Introduction and course overviewcs.cmu.edu
Manipulating Points and Lineshomepages.inf.ed.ac.uk
Geometric Transformationspages.mtu.edu
Massachusetts Institute of Technology — Algebraic Geometry Notesmath.mit.edu
Geometric Transformations, 1800–1855 – CMS Notesnotes.math.ca