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数学 / linear-subspace

线性子空间

线性子空间是向量空间的一个子集，在沿用原空间的运算时，其自身也构成向量空间。

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向量空间域（数学）线性代数线性组合复数实数仿射空间多项式线性子空间

线性子空间是向量空间的一个子集，它包含零向量，并且对向量加法和标量乘法封闭。在沿用原空间的这两种运算时，它自身也构成向量空间，且与所在空间定义在同一个域（数学）上。子空间是线性代数中的基本对象，可用于描述方向、齐次方程的解集以及嵌入较大空间中的较小空间。子空间的元素不一定是几何意义上的箭头，也可以是矩阵、多项式或函数。(math.brown.edu)

定义与子空间判定

设 VV 是域 FF 上的向量空间。若子集 W⊆VW\subseteq V 满足以下条件，则称其为子空间：

  1. 0∈W0\in W；
  2. 对任意 u,v∈Wu,v\in W，都有 u+v∈Wu+v\in W；
  3. 对任意 a∈Fa\in F 和 v∈Wv\in W，都有 av∈Wav\in W。

等价地，一个非空子集是子空间，当且仅当

au+bv∈W(u,v∈W, a,b∈F).au+bv\in W \qquad(u,v\in W,\ a,b\in F).

这一判定条件表明，WW 对线性组合封闭。非空这一要求不可省略：空集虽然平凡地满足封闭条件，却不是向量空间。取标量为 −1-1，即可得到加法逆元；其余向量空间公理则由 VV 继承而来。(math.brown.edu)

标量域是定义的一部分。例如，将复数视为实向量空间时，实数构成它的一个子空间；但将复数视为复向量空间时，实数就不构成子空间，因为乘以 ii 后，实数不一定仍是实数。(homepages.ucl.ac.uk)

几何与代数中的例子

每个向量空间都有零子空间 {0}\{0\} 和整个空间 VV 这两个子空间。不等于 VV 的子空间称为真子空间。在 R2\mathbb R^2 中，子空间包括原点、经过原点的直线以及整个平面。在 R3\mathbb R^3 中，还可以有经过原点的平面。特别地，

W={(x,y,z)∈R3:x+y+z=0}W=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x+y+z=0\}

是一个平面子空间，因为向量加法和标量乘法都保持其定义方程成立。(ocw.mit.edu)

不包含原点的直线或平面不是线性子空间。平移得到的集合 v0+W={v0+w:w∈W}v_0+W=\{v_0+w:w\in W\} 是一个仿射子空间；它是线性子空间，当且仅当 v0∈Wv_0\in W。因此，x+y+z=1x+y+z=1 定义的是仿射平面，而不是线性子空间。(math.brown.edu)

子空间也可以出现在不涉及几何坐标的情形中。次数不超过 dd 的多项式与零多项式一起构成 F[x]F[x] 的一个子空间。同样，固定阶数的实对称矩阵构成同阶方阵空间的一个子空间。这些例子说明，判断子空间的关键在于运算的封闭性，而不在于元素的具体形式。(math.brown.edu)

线性包、基与维数

对于向量集合 S⊆VS\subseteq V，其线性包由 SS 中元素的所有有限线性组合构成。它是包含 SS 的最小子空间。因此，指定一组生成向量是描述子空间的一种方式。(homepages.ucl.ac.uk)

WW 的一组基（线性代数）是满足线性无关条件的生成集。基中向量的个数定义了 WW 的维数（向量空间）。若 VV 是有限维的，则

0≤dim⁡W≤dim⁡V.0\leq\dim W\leq\dim V.

若 dim⁡W=dim⁡V\dim W=\dim V，则必有 W=VW=V。WW 的任意一组基都可以扩充为 VV 的一组基，从而区分子空间中已有的方向与所在空间中的额外方向。(homepages.ucl.ac.uk)

对于平面 x+y+z=0x+y+z=0，可以取以下向量作为一组基：

(1,−1,0),(1,0,−1).(1,-1,0),\qquad(1,0,-1).

平面上的每一点都能唯一地表示为这两个向量的线性组合，因此该平面的维数为二。(ocw.mit.edu)

交、和与补空间

VV 的任意非空子空间族的交仍是子空间。两个子空间的并通常不是子空间：分别从两个子空间中各取一个向量，将它们相加，结果可能不在并集中。对于两个子空间 U,WU,W，它们的并是子空间，当且仅当其中一个包含于另一个。(cfm.brown.edu)

它们的和定义为

U+W={u+w:u∈U, w∈W},U+W=\{u+w:u\in U,\ w\in W\},

即同时包含这两个子空间的最小子空间。对于有限维子空间，

dim⁡(U+W)=dim⁡U+dim⁡W−dim⁡(U∩W).\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).

减去交空间的维数，是为了扣除两个空间共有的方向所造成的重复计数。(cfm.brown.edu)

若 U∩W={0}U\cap W=\{0\}，则和空间中的每个元素都有唯一的分解 u+wu+w；此时，这个和称为直和，记作 U⊕WU\oplus W。若子空间 UU 满足 V=W⊕UV=W\oplus U，则称 UU 为 WW 在 VV 中的补空间。有限维向量空间的每个子空间都有补空间，但补空间通常不唯一。(cfm.brown.edu)

线性映射与方程

对于线性映射 T:V→YT:V\to Y，其核（线性映射） ker⁡T={v:T(v)=0}\ker T=\{v:T(v)=0\} 是 VV 的子空间，其像则是 YY 的子空间。对于矩阵 AA，它们分别对应矩阵的零空间和列空间。因此，齐次线性方程组 Ax=0Ax=0 的解集总是一个子空间。(ocw.mit.edu)

秩—零化度定理给出了二者维数之间的关系：当 VV 为有限维空间时，

dim⁡ker⁡T+dim⁡im⁡T=dim⁡V.\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T=\dim V.

因此，对于一个 m×nm\times n 矩阵，其零空间的维数为 n−rank⁡(A)n-\operatorname{rank}(A)，其中矩阵的秩是列空间的维数。若 Ax=bAx=b 有一个特解 x0x_0，则其全部解构成集合 x0+ker⁡Ax_0+\ker A，这通常是仿射子空间，而不是线性子空间。(ocw.mit.edu)

正交性与逼近

在有限维情形下，内积给出了一个特殊的补空间。正交补

W⊥={v:⟨v,w⟩=0 对所有 w∈W 成立}W^\perp=\{v:\langle v,w\rangle=0\text{ 对所有 }w\in W\text{ 成立}\}

是一个子空间，且 V=W⊕W⊥V=W\oplus W^\perp。每个向量都可以唯一地分解为一个属于 WW 的分量和一个垂直于 WW 的分量。(cfm.brown.edu)

第一个分量就是该向量在 WW 上的正交投影，也是在内积诱导的范数下，WW 中与该向量距离最近的唯一一点。在普通最小二乘法中，拟合向量是观测响应向量在设计矩阵列空间上的投影；残差则位于该列空间的正交补中。这使子空间的几何性质与逼近和回归直接联系起来。(ocw.mit.edu)