量子纠错是一组用于保护量子信息免受噪声、非预期相互作用及不完美操作影响的技术。它将逻辑量子比特编码到更大的物理系统中，再在不泄露所编码量子态的前提下提取错误信息。量子纠错融合了量子力学与纠错码的思想，为可靠的量子计算机和量子通信奠定了基础。这种保护是有条件的：一种码只能纠正特定类别的错误，而非所有可能的扰动。(arxiv.org)
为什么量子信息需要特殊保护
量子比特可以处于计算基态 与 的量子叠加态。与经典比特不同，它的两个振幅及其相对相位都承载着信息。噪声可能交换基态、改变它们的相对相位，也可能通过与环境的相互作用引发量子退相干。控制操作和测量过程也可能产生错误。(arxiv.org)
两项限制使简单的复制并比较方案无法直接适用。不可克隆定理禁止完美复制任意未知量子态。直接测量所存储的量子态，也可能破坏需要保护的叠加态。因此，量子编码将信息分散到一个联合态中，通常会利用量子纠缠。测量揭示的是与错误有关的特定关联，而不是未知的逻辑态振幅本身。(arxiv.org)
单量子比特算符可以按单位算符和三个泡利矩阵 、、 展开。这三个矩阵分别表示比特翻转、相位翻转及两者的组合。因此，只要能够纠正一组适当的有限错误基，就也能纠正这些错误的线性组合；量子纠错不必逐一识别每一种连续扰动。(arxiv.org)
编码与错误症候提取
一个简单的例子是三量子比特的比特翻转码：
这是一个编码态，而不是三个独立副本。测量校验算符 和 ，可以判断相邻量子比特在计算基下的取值是否一致。测量结果构成一个错误症候，能够识别单个比特翻转，却不会区分两个逻辑基态。施加相应的 操作即可恢复编码态。但仅靠这种码无法纠正任意相位错误。(arxiv.org)
在实际电路中，辅助量子比特通过量子门与数据量子比特相互作用，随后被测量。经典解码器根据错误症候记录推断适当的恢复操作。由于测量本身也可能出错，校验通常会重复进行：空间和时间上的关联有助于区分数据错误与测量错误。恢复也不一定需要立即执行物理操作；推断出的泡利纠正操作可以由经典软件跟踪，并纳入后续操作或结果解读中。(nature.com)
数学框架
码空间是物理系统希尔伯特空间中的一个线性子空间。设 为投影到该码空间的正交投影算符， 描述需要纠正的错误。Knill–Laflamme 条件指出，当且仅当每一对错误算符都满足
时，才可能实现精确恢复，其中 与所编码的量子态无关。这些条件表达的是：噪声不会获得能够区分码空间内不同逻辑态的信息。如果不同错误对受保护信息的作用相同，它们就不必产生不同的错误症候；这种性质称为简并性。(arxiv.org)
量子比特码通常采用记号 ： 个物理量子比特编码 个逻辑量子比特， 为码距。在恢复过程理想的假设下，码距为 的码可以纠正作用于至多 个量子比特上的任意错误。码距描述的是对某类错误的防护能力，而非带噪声实现的整体性能。(arxiv.org)
主要码族
彼得·肖尔于 1995 年 10 月发表的九量子比特码，展示了如何保护量子信息，使其免受作用于单个物理量子比特的任意错误影响。它结合了针对比特错误和相位错误的保护，证明退相干并不会使量子纠错成为不可能。(journals.aps.org)
许多码采用稳定子码形式体系。它们的码空间是相互对易的泡利算符的共同 特征子空间。测量这些算符可以在保持逻辑态的同时提供错误症候信息。表面码在二维格点上布置局部校验，使其适用于以最近邻相互作用为主的架构。其主要代价是：要对逻辑信息提供强有力的保护，需要大量物理量子比特。(arxiv.org)
级联码将量子比特递归地编码到其他码中，形成逐级保护。量子低密度奇偶校验码则采用稀疏校验，有望降低量子比特开销，但它们对连接方式和错误症候提取的要求与表面码不同。因此，码的选择不仅取决于数学参数，也取决于硬件约束。(arxiv.org)
容错与实验实现
即使纠错操作本身存在噪声，纠错过程也必须保持可靠。容错量子计算通过设计态制备、校验和逻辑门，使单个故障不会传播成无法纠正的错误。量子阈值定理表明，在特定噪声假设下，只要物理操作足够精确，就可以通过增加编码资源，实现可靠性任意高的计算。并不存在通用的阈值百分比：阈值取决于所用的码、电路、解码器和噪声模型。(arxiv.org)
一项于 2024 年 12 月 9 日在线发表的实验，利用超导量子比特展示了在阈值以下运行的表面码量子存储器。其中，码距为七的存储器使用了 101 个物理量子比特，每个纠错周期的逻辑错误率约为 0.143%；码距每增加二，错误率便降至原来的约 。这证明了在所测试的码距范围内，错误抑制效果能够随规模扩大而提升，但并不意味着已经实现完整的容错计算机。尚待解决的实现难题包括关联噪声、实时解码，以及将受保护的量子存储扩展到逻辑计算。(nature.com)