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技术 / quantum-gate

量子门

量子门是作用于量子比特的可逆操作，是构成量子电路的基本单元。

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量子门是量子计算机中改变一个或多个量子比特状态的基本操作。在理想电路模型中，量子门是由酉矩阵表示的可逆变换。量子门组合成量子电路，用于处理量子信息。与普通的经典逻辑门不同，量子门作用于概率幅及其相对相位，而不只是确定的二进制值。电路中也可以包含测量和重置操作，但它们与酉门操作不同。(quantum.cloud.ibm.com)

数学描述

量子门的描述遵循量子力学和线性代数。nn 个量子比特的纯态是 2n2^n 维希尔伯特空间中的归一化向量。在选定的基下，作用于这些量子比特的门由一个 2n×2n2^n\times2^n 的酉矩阵 UU 表示，状态按下式变化：

∣ψ′⟩=U∣ψ⟩,U†U=UU†=I.|\psi'\rangle=U|\psi\rangle,\qquad U^\dagger U=UU^\dagger=I.

其中，U†U^\dagger 是共轭转置，II 是单位矩阵。酉性保持状态的归一化，并使变换可逆：施加 U†U^\dagger 即可撤销 UU 的作用。(quantum.cloud.ibm.com)

单个量子比特的状态可写为 α∣0⟩+β∣1⟩\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle，其中概率幅是满足 ∣α∣2+∣β∣2=1|\alpha|^2+|\beta|^2=1 的复数。量子门以线性方式作用于这一量子叠加态。依次施加的门通过矩阵乘法组合；如果先施加 UU，再施加 VV，则合成变换为 VUVU。作用于不同子系统的操作则通过张量积组合。这些规则将电路图转化为数学表达式。(quantum.cloud.ibm.com)

常见的单量子比特门

量子计算中经常使用以下几类有特定名称的门：

  • 泡利门：XX 交换 ∣0⟩|0\rangle 和 ∣1⟩|1\rangle，在这两个基态上实现经典非门的作用。ZZ 保持 ∣0⟩|0\rangle 不变，并将 ∣1⟩|1\rangle 的符号反转。YY 在交换两个基态的同时引入相位因子。
  • 阿达玛门：HH 将 ∣0⟩|0\rangle 映射为 (∣0⟩+∣1⟩)/2(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2，将 ∣1⟩|1\rangle 映射为 (∣0⟩−∣1⟩)/2(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt2。
  • 相位门：S=diag⁡(1,i)S=\operatorname{diag}(1,i) 和 T=diag⁡(1,eiπ/4)T=\operatorname{diag}(1,e^{i\pi/4}) 改变两个基态概率幅之间的相对相位。
  • 旋转门：Rx(θ)R_x(\theta)、Ry(θ)R_y(\theta) 和 Rz(θ)R_z(\theta) 提供由连续参数控制的变换，对应于绕布洛赫球各坐标轴的旋转。(quantum.cloud.ibm.com)

例如，

X=(0110),H=12(111−1).X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \qquad H=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}.

阿达玛门不是随机化操作：它的作用是确定性的，连续施加两次便会恢复原来的状态。随机结果是在测量所得状态时产生的。相位变化之所以重要，是因为后续的门可以通过干涉，将相对相位的差异转化为测量结果概率的差异。(quantum.cloud.ibm.com)

受控门与多量子比特门

受控非门简称 CNOT 或 CX，包含一个控制量子比特和一个目标量子比特。将控制量子比特写在前面时，它对计算基态的作用为

∣a,b⟩⟼∣a,b⊕a⟩,|a,b\rangle\longmapsto|a,b\oplus a\rangle,

其中，⊕\oplus 表示异或。当控制量子比特为 11 时，目标量子比特发生翻转。这一规则通过线性性推广到叠加态，无须测量控制量子比特。(arxiv.org)

CNOT 可以产生量子纠缠。从 ∣00⟩|00\rangle 出发，先对第一个量子比特施加 HH，再施加 CNOT，便得到

∣00⟩+∣11⟩2,\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt2},

这是一个贝尔态，无法表示为两个单独量子比特状态的乘积。不过，CNOT 并非对所有可能的输入都能产生纠缠。(learning.quantum.ibm.com)

其他多量子比特门包括：将 ∣11⟩|11\rangle 的符号反转的受控 ZZ 门；交换两个量子比特状态的 SWAP 门；以及在两个控制量子比特均为 11 时翻转目标量子比特的托福利门。受控 UU 操作推广了这种构造，在保持量子相干性的同时，有条件地施加 UU。(quantum.cloud.ibm.com)

通用门集与电路综合

通用量子门集能够实现任意酉变换：使用参数可连续变化的门可以精确实现，使用固定的有限门集则可以近似实现。1995 年，巴伦科及其合作者证明，任意单量子比特门与 CNOT 的组合足以表示有限个量子比特上的任何酉操作。(arxiv.org)

一种广泛使用的有限通用门集由阿达玛门、TT 门和 CNOT 门组成。通用性意味着可以按任意所需精度近似实现任意变换，但并不意味着每种变换都能用较短的电路实现。因此，门数和电路深度有助于描述量子算法的计算复杂性。当彼此兼容的门可以并行执行时，深度衡量的是必须依次执行的操作层数。(learning.quantum.ibm.com)

物理实现与误差

抽象的量子门规定的是一种变换，而不是某种唯一的物理机制。其物理实现通过受控场和相互作用来操纵合适的量子系统。例如，可以利用激光束或专门设计的微波场，使囚禁离子量子比特产生纠缠。不同的硬件架构支持不同的原生门和相互作用模式。(nist.gov)

编译过程通常也称为转译，其作用是将电路转换为符合目标设备原生门集及连接关系的电路。路由过程可能插入 SWAP 操作，将需要相互作用的状态移至彼此连接的量子比特上，从而增加执行成本。因此，优化不仅要考虑数学上的等价性，还要考虑硬件约束。(quantum.cloud.ibm.com)

由于控制误差、不希望出现的相互作用以及量子退相干，实际操作会偏离理想的酉操作。量子纠错将信息编码到逻辑量子比特中，而容错门的构造则限制处理过程中的误差传播。在适当的噪声假设下，若错误率低于相应阈值，容错方法便能在失败概率受控的情况下支持任意规模的计算；这一阈值取决于所用的纠错码及其实现方式。(learning.quantum.ibm.com)