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科学 / bell-state

贝尔态

贝尔态是四种两量子比特最大纠缠态之一，它们构成标准正交基，是量子信息中的基本资源。

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贝尔态是量子力学中两个量子比特的四种最大纠缠纯态之一。这四种态共同构成贝尔基，是描述两量子比特系统的一组标准基。它们以约翰·斯图尔特·贝尔的名字命名，是量子纠缠的基本例子：联合态无法表示为各个量子比特各自的态矢量的乘积。(quantum.cloud.ibm.com)

数学定义

对于标记为 AA 和 BB 的两个量子比特，四种贝尔态为

∣Φ+⟩=∣00⟩+∣11⟩2,∣Φ−⟩=∣00⟩−∣11⟩2,|\Phi^+\rangle=\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt2}, \qquad |\Phi^-\rangle=\frac{|00\rangle-|11\rangle}{\sqrt2},
∣Ψ+⟩=∣01⟩+∣10⟩2,∣Ψ−⟩=∣01⟩−∣10⟩2.|\Psi^+\rangle=\frac{|01\rangle+|10\rangle}{\sqrt2}, \qquad |\Psi^-\rangle=\frac{|01\rangle-|10\rangle}{\sqrt2}.

这里，∣ij⟩|ij\rangle 是张量积 ∣i⟩A⊗∣j⟩B|i\rangle_A\otimes|j\rangle_B 的简写。每个态都已归一化，不同贝尔态之间的内积为零。因此，它们构成两个量子比特的四维希尔伯特空间的一组标准正交基。任意两量子比特纯态都可以写成这四个矢量的线性组合。(quantum.cloud.ibm.com)

加号和减号表示量子叠加中两个分量之间的相对相位。这个相位具有物理意义，尽管它不会改变在计算基下测量两个量子比特时得到的概率。(quantum.cloud.ibm.com)

最大纠缠

对于贝尔态 ∣β⟩|\beta\rangle，联合密度矩阵为

ρAB=∣β⟩⟨β∣.\rho_{AB}=|\beta\rangle\langle\beta|.

对任一量子比特取偏迹，得到

ρA=Tr⁡B(ρAB)=I22,ρB=Tr⁡A(ρAB)=I22,\rho_A=\operatorname{Tr}_B(\rho_{AB})=\frac{I_2}{2}, \qquad \rho_B=\operatorname{Tr}_A(\rho_{AB})=\frac{I_2}{2},

其中，I2I_2 是二维单位矩阵。因此，联合系统处于纯态，而每个量子比特单独来看都处于最大混合态。采用以二为底的对数，任一约化态的冯·诺依曼熵为

S(ρA)=−Tr⁡(ρAlog⁡2ρA)=1.S(\rho_A)=-\operatorname{Tr}(\rho_A\log_2\rho_A)=1.

这是两量子比特纯态所能达到的最大纠缠熵。因此，一个共享的贝尔对代表一个纠缠比特（ebit），这是二体纠缠的标准单位。(preskill.caltech.edu)

四种贝尔态的纠缠量相同。施加适当的单量子比特幺正操作，可以将其中任意一种转换为另一种；更一般地说，每一种两量子比特最大纠缠纯态都与贝尔态局域幺正等价。(preskill.caltech.edu)

测量关联

在计算基下测量两个量子比特时：

态 可能的联合结果 每种结果的概率
∣Φ+⟩\vert \Phi^+\rangle、∣Φ−⟩\vert \Phi^-\rangle 0000、1111 1/21/2
∣Ψ+⟩\vert \Psi^+\rangle、∣Ψ−⟩\vert \Psi^-\rangle 0101、1010 1/21/2

因此，Φ\Phi 态给出相同的测量结果，而 Ψ\Psi 态给出相反的测量结果。单独看每个量子比特，其结果仍然是均匀随机的。在其他基下进行测量，可以揭示计算基测量无法区分的相对相位。(quantum.cloud.ibm.com)

仅凭计算基下的完美关联，并不能证明存在纠缠。可分混合态

ρmix=12∣00⟩⟨00∣+12∣11⟩⟨11∣\rho_{\mathrm{mix}} =\frac12|00\rangle\langle00| +\frac12|11\rangle\langle11|

在计算基下的测量结果概率与 ∣Φ+⟩|\Phi^+\rangle 相同，但它缺少 ∣00⟩|00\rangle 与 ∣11⟩|11\rangle 之间的量子相干性。在其他基下进行测量，可以区分这两种态。(quantum.cloud.ibm.com)

这些关联不能用于超光速通信。如果没有通过经典信道接收到另一位观测者的测量结果，观测者就只能看到随机的局域结果；利用纠缠无法省去隐形传态所必需的经典通信。(quantum.cloud.ibm.com)

制备与贝尔基测量

一种标准电路使用两个量子门，从 ∣00⟩|00\rangle 制备 ∣Φ+⟩|\Phi^+\rangle：

  1. 对量子比特 AA 施加哈达玛门。
  2. 施加受控非门，以 AA 为控制比特、BB 为目标比特。

态的演化过程为

∣00⟩⟶∣00⟩+∣10⟩2⟶∣00⟩+∣11⟩2.|00\rangle \longrightarrow \frac{|00\rangle+|10\rangle}{\sqrt2} \longrightarrow \frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt2}.

随后，通过局域的比特翻转和相位翻转操作，可以生成其他贝尔态。(quantum.cloud.ibm.com)

理想的贝尔基测量通过逆向执行上述电路来区分四种态：先施加受控非门，再对 AA 施加哈达玛门，最后在计算基下测量两个量子比特。按照这里采用的比特顺序，映射关系为

Φ+↦00,Φ−↦10,Ψ+↦01,Ψ−↦11.\Phi^+\mapsto00,\quad \Phi^-\mapsto10,\quad \Psi^+\mapsto01,\quad \Psi^-\mapsto11.

区分全部四种态需要对联合系统进行操作，而不是仅测量其中任意一个量子比特。(quantum.cloud.ibm.com)

贝尔不等式

贝尔态可以产生与局域隐变量模型不相容的测量统计结果。在CHSH不等式中，这类模型满足 ∣S∣≤2|S|\leq2。采用适当的局域测量设置，理想贝尔对可以达到 ∣S∣=22|S|=2\sqrt2，这是量子力学所允许的最大值。这为贝尔定理提供了定量验证。能否违反不等式取决于测量设置；仅仅制备贝尔态，并在一个固定基下测量两个量子比特，并不构成贝尔检验。(quantum.cloud.ibm.com)

量子信息中的应用

两种基本通信协议将贝尔对用作共享资源：

  • **量子隐形传态：**借助一个共享贝尔对、一次贝尔基测量以及两个经典比特的通信，将一个未知量子比特态传送给接收方。接收方根据测量结果施加相应的校正操作。该协议传送的是量子信息，而不是物质。(preskill.caltech.edu)
  • **超密编码：**发送方通过操作自己持有的量子比特，将共享贝尔对转换为四种贝尔态之一，从而编码两个经典比特。该量子比特传送给接收方后，接收方使用贝尔基测量来区分这些态。除了传送的量子比特之外，该协议还要求双方事先共享纠缠。(quantum.cloud.ibm.com)

参考来源

  1. Quantum information | IBM Quantum Learningquantum.cloud.ibm.com
  2. Introduction | IBM Quantum Learningquantum.cloud.ibm.com
  3. Chapter 5: Quantum Information Theorypreskill.caltech.edu
  4. Ph/CS 219A Quantum Computation, Lecture 8: Superdense Coding and Quantum Teleportationpreskill.caltech.edu
  5. Superdense coding | IBM Quantum Learningquantum.cloud.ibm.com
  6. Quantum Teleportation | IBM Quantum Learningquantum.cloud.ibm.com
  7. Quantum teleportation | IBM Quantum Learningquantum.cloud.ibm.com
  8. CHSH game | IBM Quantum Learningquantum.cloud.ibm.com
  9. CHSH inequality | IBM Quantum Documentationquantum.cloud.ibm.com