单位矩阵 · aiwiki.page

单位矩阵是一种方矩阵，其主对角线上的元素全为1，其余元素全为0。通常记作 $I_n$ ，其中 $n$ 表示矩阵的阶数。向量或维度相容的矩阵与单位矩阵相乘后保持不变。因此，在线性代数中，它的作用相当于普通乘法中的数字 $1$ 。单位矩阵也称为单位阵。(ocw.mit.edu)

定义与记号

对于正整数 $n$ ， $n$ 阶单位矩阵为

I_n= \begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{pmatrix}.

因此， $I_1=(1)$ ，而

I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \qquad I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

等价地，其第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素在 $i=j$ 时为 $1$ ，否则为 $0$ 。当维度明确时，通常省略下标。单位矩阵是一种特殊的对角矩阵，但对角元素不全为1的对角矩阵通常不能使向量在相乘后保持不变。(web.mit.edu)

乘法单位元

若 $A$ 有 $m$ 行、 $n$ 列，则

I_mA=A,\qquad AI_n=A.

这里不同的下标很重要：左乘 $A$ 的单位矩阵，其阶数与 $A$ 的行数一致；右乘的单位矩阵，其阶数则与 $A$ 的列数一致。对于 $n\times n$ 方阵，左右两侧的单位矩阵都是 $I_n$ 。这些等式可直接由矩阵乘法规则得到，因为单位矩阵的每一行或每一列都恰好选出另一矩阵的一行或一列。(web.mit.edu)

对于给定的阶数，乘法单位元是唯一的。事实上，若另一个 $n\times n$ 矩阵 $E$ 对每个 $A$ 都满足 $EA=A$ ，取 $A=I_n$ ，便有 $EI_n=I_n$ 。又因为与 $I_n$ 相乘还满足 $EI_n=E$ ，所以 $E=I_n$ 。这直接来自定义矩阵乘法的规则。(web.mit.edu)

恒等变换与坐标

用 $I_n$ 乘坐标向量 $x$ ，得到的仍是 $x$ ：

I_nx=x.

它表示 $n$ 维向量空间上的恒等线性映射。它的各列是标准坐标向量：第 $j$ 列的第 $j$ 个位置为1，其余位置为0。因此，该矩阵与 $x$ 相乘，就是以 $x$ 的各坐标为系数，对这些列作线性组合。(math.mit.edu)

只要输入和输出坐标采用同一组基（线性代数），恒等变换在该基下的矩阵就是 $I_n$ 。更换这组基不会改变其矩阵，因为对于可逆的换基矩阵 $P$ ，有

P^{-1}I_nP=I_n.

然而，如果定义域和值域采用不同的基，恒等映射就可能由一个并非单位矩阵的坐标变换矩阵表示。这些结论来自用基表示线性映射的一般规则。(math.mit.edu)

代数性质与谱性质

由单位矩阵各元素的定义或乘法规则，可以立即得到以下性质：

它的矩阵转置仍是它自身： $I_n^{\mathsf T}=I_n$ 。
它的逆矩阵仍是它自身： $I_n^{-1}=I_n$ 。
它的行列式为 $1$ 。
在实数域或复数域上，其矩阵的迹为 $n$ 。
其矩阵的秩为 $n$ ，且其零空间只包含零向量。
$I_n$ 的任意整数次幂都等于 $I_n$ 。(math.mit.edu)

当 $n\geq1$ 时，它唯一的特征值是 $1$ ，每个非零向量都是其特征向量。因此，对应的特征空间就是整个坐标空间。采用 $\chi_A(t)=\det(tI_n-A)$ 的约定，其特征多项式为

\chi_{I_n}(t)=(t-1)^n.

它本身已经是对角矩阵，因此对它进行矩阵对角化时无须换基。这些都是特征值和对角化定义的直接应用。(personal.math.ubc.ca)

在实数域上， $I_n$ 是正交矩阵，因为 $I_n^{\mathsf T}I_n=I_n$ 。在标准内积下，它的各列构成一组标准正交基。它还是正定矩阵，因为对于每个非零实向量 $x$ ，都有 $x^{\mathsf T}I_nx=\sum_i x_i^2>0$ 。(interactivetextbooks.tudelft.nl)

逆矩阵与线性方程组

单位矩阵出现在可逆方阵的定义中：

A^{-1}A=AA^{-1}=I_n.

这些等式表明，逆矩阵能够撤销 $A$ 所施加的变换。对于线性方程组 $Ax=b$ ，左乘 $A^{-1}$ 可得 $x=A^{-1}b$ 。(math.mit.edu)

在高斯–若尔当消元法中，单位矩阵构成增广矩阵的右侧分块；该方法是高斯消元法的扩展：

[A\mid I_n]\longrightarrow[I_n\mid A^{-1}].

当 $A$ 可逆时，将 $A$ 化为单位矩阵的行变换，也会同时将右侧附加的单位矩阵化为 $A^{-1}$ 。等价地，逆矩阵的各列分别是方程组 $Ax=e_j$ 的解，其中每个标准坐标向量 $e_j$ 对应一个方程组。(math.mit.edu)

对角平移与正则化

给方阵加上 $cI_n$ ，只会改变其对角元素。若 $Av=\mu v$ ，则

(A+cI_n)v=(\mu+c)v.

因此，加上单位矩阵的标量倍数会使特征值平移，而对应的特征向量保持不变。与任意矩阵相加的情形不同，这种平移可直接由特征向量方程推出。(web.mit.edu)

在岭回归中，对于目标函数 $\|y-X\beta\|_2^2+\lambda\|\beta\|_2^2$ ，系数公式中会出现这一运算：

\widehat{\beta} =(X^{\mathsf T}X+\lambda I_p)^{-1}X^{\mathsf T}y,

这里， $p$ 是受惩罚的系数个数。单位矩阵使每个系数具有相同的二次正则化权重；若模型包含截距项，通常会将其单独处理。(faculty.washington.edu)