共轭转置 · aiwiki.page

矩阵的共轭转置是将其行与列互换，并对每个元素取复共轭后得到的矩阵。这一运算结合了矩阵转置与共轭，通常记作 $A^*$ 、 $A^H$ 或 $A^\dagger$ 。在复数域上的线性代数中，共轭转置所起的作用与普通转置在实矩阵中的作用相对应，尤其体现在内积和伴随变换的定义中。(reference.wolfram.com)

定义与记号

对于元素为复数的 $m\times n$ 矩阵 $A=(a_{ij})$ ，其共轭转置是按下式定义的 $n\times m$ 矩阵：

(A^*)_{ij}=\overline{a_{ji}}.

这里，复共轭将 $a+bi$ 映为 $a-bi$ ，其中 $a,b$ 为实数，且 $i^2=-1$ 。共轭与转置的运算顺序可以交换，因此

A^*=\overline{A}^{\,T}=\overline{A^T}.

如果所有元素都是实数，共轭不会改变它们，因此 $A^*=A^T$ 。这一运算既适用于方阵，也适用于非方阵。(reference.wolfram.com)

例如，根据定义可得

A= \begin{pmatrix} 1+i&2&-i\\ 3i&4-i&5 \end{pmatrix}, \qquad A^*= \begin{pmatrix} 1-i&-3i\\ 2&4+i\\ i&5 \end{pmatrix}.

因此， $A^*$ 的每一列都是对 $A$ 的对应行逐元素取共轭后得到的。

使用记号时需要注意：星号有时表示逐元素共轭，而非共轭转置。剑号也是一种通用记法，而 $A^H$ 则明确表示厄米转置。(reference.wolfram.com)

代数性质

对于大小相容的矩阵和复标量 $\alpha$ ，有

(A^*)^*=A,\qquad (A+B)^*=A^*+B^*,\qquad (\alpha A)^*=\overline{\alpha}A^*.

第一个恒等式说明这一运算是对合：连续施行两次便得到原矩阵。关于标量的恒等式表明，在固定大小矩阵构成的向量空间上，这一运算是共轭线性的，而不是复线性的。(math.ucdavis.edu)

对于矩阵乘法，各因子的顺序会反转：

(AB)^*=B^*A^*.

这种顺序反转至关重要；一般而言， $A^*B^*$ 不仅不是正确结果，其矩阵大小甚至未必满足相乘的条件。如果 $A$ 存在逆矩阵，则

(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}.

借助这些规则，可以计算复杂表达式的共轭转置，而无须逐一展开每个元素。(fab.cba.mit.edu)

内积与伴随

对于列向量 $x,y\in\mathbb C^n$ ，标准复内积为

\langle x,y\rangle=x^*y =\sum_{j=1}^n\overline{x_j}y_j.

按照这一约定，内积对第一个变量是共轭线性的，对第二个变量是线性的。特别地，

\langle x,x\rangle=\sum_j|x_j|^2,

对于任意非零向量，这个值都为正。由此可定义欧几里得范数： $\|x\|_2=\sqrt{x^*x}$ 。与实数情形不同，使用 $x^Tx$ 无法保证非零向量的长度平方为正：例如，对于 $x=(1,i)^T$ ，虽然 $x\ne0$ ，但 $x^Tx$ 等于零。(web.mit.edu)

若矩阵 $A$ 表示线性映射 $A:\mathbb C^n\to\mathbb C^m$ ，则乘积规则给出

\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^*y\rangle.

这个恒等式刻画了标准内积下的伴随算子。因此，共轭转置可以将作用于内积中一个变量的变换转移到另一个变量上。这种对应关系依赖于标准正交坐标；在任意基下，伴随算子的矩阵一般不能仅通过对原矩阵取共轭转置得到。(reference.wolfram.com)

重要的矩阵类别

厄米矩阵是满足 $A^*=A$ 的方阵。它的对角元素为实数，关于主对角线对称的元素互为复共轭。厄米矩阵的特征值均为实数，并且存在由特征向量组成的标准正交基。这是谱定理的有限维形式，将共轭转置与矩阵对角化联系起来。(web.mit.edu)

酉矩阵满足

U^*U=UU^*=I,

其中 $I$ 为单位矩阵。等价地， $U^{-1}=U^*$ 。它的各列构成标准正交组，且它保持内积和向量范数不变。当矩阵元素均为实数时，这一条件就化为正交矩阵的定义条件。(math.ucdavis.edu)

对于任意非方阵 $A$ ，矩阵 $A^*A$ 都是厄米矩阵。应用内积恒等式可得

x^*A^*Ax=\|Ax\|_2^2\ge0.

因此，它是半正定矩阵。如果 $A$ 的列向量线性无关，则对于非零 $x$ ，上式严格为正，从而 $A^*A$ 是正定矩阵。它的各元素是这些列向量两两之间的内积，因此它是这些列向量的格拉姆矩阵。这些结论都可以由前述恒等式直接推出。(web.mit.edu)

在矩阵分解中的作用

在数值线性代数中，共轭转置出现在复矩阵的奇异值分解中：

A=U\Sigma V^*.

这里， $U$ 和 $V$ 是酉矩阵，而 $\Sigma$ 是非方形对角矩阵，其对角元素为非负实数，称为奇异值。 $U$ 和 $V$ 的列分别为左奇异向量和右奇异向量。LAPACK 的复矩阵奇异值分解例程返回的是 $V^*$ ，而不是 $V$ ，这与重构矩阵时所用的形式一致。(netlib.org)