逆矩阵是指在矩阵乘法下能够逆转另一个矩阵作用的矩阵。在线性代数中，方阵 (A) 的逆矩阵记作 (A^{-1})，满足 [ AA^{-1}=A^{-1}A=I, ] 其中 (I) 是与 (A) 同阶的单位矩阵。存在逆矩阵的矩阵称为可逆矩阵或非奇异矩阵；不存在逆矩阵的矩阵称为奇异矩阵。求逆是逆转矩阵所表示的变换，而不是对矩阵的每个元素分别取倒数。(math.mit.edu)
定义与存在性
通常的理论讨论元素取自某个域（数学）的 (n\times n) 矩阵，尤其是元素为实数或复数的矩阵。逆矩阵一旦存在，就是唯一的。事实上，若 (B) 和 (C) 都是 (A) 的逆矩阵，由结合律可得 [ B=B(AC)=(BA)C=C. ] 对于域上的方阵，只需存在单侧逆矩阵就足够了：(AB=I) 蕴含 (BA=I)。有限维和方阵这两个假设对这一结论至关重要。(arxiv.org)
矩阵的可逆性可由以下几个等价条件刻画：
- 行列式满足 (\det(A)\ne0)。
- (A) 的秩为 (n)。
- 各列向量线性无关，并构成坐标空间的一组基。
- 零空间中只有零向量。
- 对每个 (b)，线性方程组 (Ax=b) 都有且仅有一个解。
- 在允许交换行的情况下，消元过程得到 (n) 个非零主元。(math.mit.edu)
从几何角度看，(A) 表示有限维向量空间上的一个线性映射。可逆意味着该映射是一个同构：每个输出都恰好对应一个输入。奇异映射会将某个非零向量映射到零向量，从而丢失信息，因此无法完全逆转。(math.ucla.edu)
公式与示例
对于 (2\times2) 矩阵 [ A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}, ] 其逆矩阵存在当且仅当 (ad-bc\ne0)，此时 [ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix}d&-b\-c&a\end{pmatrix}. ] 例如， [ A=\begin{pmatrix}2&1\5&3\end{pmatrix}, \qquad A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\-5&2\end{pmatrix}. ] 直接计算可得，两者按任一顺序相乘都得到 (I)。相比之下，以 ((1,2)) 和 ((2,4)) 为两行的矩阵是奇异矩阵，因为其行列式为零。(math.mit.edu)
对于任意可逆方阵，精确公式 [ A^{-1}=\frac{\operatorname{adj}(A)}{\det(A)} ] 用到了伴随矩阵，即由代数余子式组成的矩阵的转置。这个恒等式将矩阵求逆与行列式联系起来，并给出了逆矩阵各元素的显式代数表达式。不过，计算大量余子式的开销使其不适合作为大型矩阵求逆的通用方法。(math.ucla.edu)
代数性质
对于同阶的可逆矩阵 (A) 和 (B)， [ (A^{-1})^{-1}=A,\qquad (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}. ] 这里顺序的颠倒十分重要：要逆转两个依次进行的变换，必须先撤销最后进行的变换。由于矩阵乘法不满足交换律，一般不能将右侧改写为 (A^{-1}B^{-1})。(math.mit.edu)
求逆与矩阵转置及行列式还有以下关系： [ (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T, \qquad \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}. ] 因此，实正交矩阵的逆矩阵具有特别简单的形式：(A^{-1}=A^T)。(math.mit.edu)
若 (Av=\lambda v) 且 (v\ne0)，则可逆性保证 (\lambda\ne0)，两边左乘 (A^{-1}) 可得 [ A^{-1}v=\lambda^{-1}v. ] 因此，逆矩阵的特征值是 (A) 的相应特征值的倒数，而对应的特征向量保持不变。(linear.pugetsound.edu)
计算与数值精度
一种标准的精确求逆方法是高斯–若尔当消元法，它是高斯消元法的一种变体。通过初等行变换，将增广矩阵变为 [ [A\mid I]\longrightarrow[I\mid A^{-1}]. ] 将 (A) 化为单位矩阵的同一组行变换，也会在右侧的分块中逐步形成其逆矩阵。若无法在每一列中得到主元，则表明矩阵是奇异的。等价地，(A^{-1}) 的各列是方程组 (Ax_j=e_j) 的解，其中 (e_j) 为标准基向量。(math.mit.edu)
在数值线性代数中，可以先进行带主元选取的LU分解，再求解三角方程组，以此计算逆矩阵。求解 (Ax=b) 时，通常不必显式计算 (A^{-1})；数值计算库一般通过矩阵分解来求解方程组。如果只需要逆矩阵作用于特定右端向量的结果，这样就可以避免计算整个逆矩阵。(netlib.org)
数学上的可逆性并不保证浮点运算能得到准确结果。对扰动的敏感程度可用条件数衡量： [ \kappa_2(A)=\frac{\sigma_{\max}(A)}{\sigma_{\min}(A)}, ] 其中 (\sigma) 表示奇异值。这个比值很大时，说明矩阵是病态的：微小扰动或舍入误差就可能导致显著的计算误差。求逆程序可能对病态矩阵返回计算结果，而不报告失败。(numpy.org)
非方阵与广义逆
非方阵不可能具有通常意义上的双侧逆矩阵。不过，列满秩的 (m\times n) 矩阵具有左逆矩阵，行满秩的矩阵则具有右逆矩阵。这些单侧逆矩阵不一定唯一。(ocw.mit.edu)
摩尔–彭罗斯伪逆记作 (A^+)，将矩阵求逆推广到非方阵和奇异矩阵。它可以通过奇异值分解构造：对非零奇异值取倒数，并将零奇异值仍保留为零。对于可逆方阵，(A^+=A^{-1})；否则，(A^+b) 是所有使 (|Ax-b|_2) 最小的解中欧几里得范数最小的那个。因此，即使精确解不存在或不唯一，也能得到一种广义解。(numpy.org)