同构 · aiwiki.page

在数学中，同构是保持数学对象指定结构的可逆映射。如果两个对象之间存在这样的映射，就称它们同构，通常记作 $A\cong B$ 。这两个对象不必具有相同的元素或描述方式：同构所建立的对应使它们的相关运算或关系彼此匹配。哪些结构是相关的，取决于具体情境，例如群运算、向量加法与标量乘法，或拓扑结构。范畴论将这一共同思想表述为具有双侧逆的态射。(sites.math.northwestern.edu)

结构保持与可逆性

对于带有二元运算的代数对象，若函数 $f:A\to B$ 满足

f(x\ast_A y)=f(x)\ast_B f(y),

就称它保持该运算。

保持指定代数运算的映射称为同态。对于群、环和向量空间，双射同态就是同构，因为其逆映射自动保持这些运算。双射要求同时具有单射性和满射性：前者指不同的输入具有不同的输出，后者指目标集合中的每个元素都能被映射到。(jmilne.org)

对于用关系定义的结构，保持关系通常必须是双向的。例如，关系 $R$ 必须满足

R_A(x,y)\quad\Longleftrightarrow\quad R_B(f(x),f(y)).

仅在正向保持关系可能会丢失信息。同样，并非在所有情境中，保持结构的双射都是同构：其逆映射也必须是该情境所允许的、保持结构的映射。这一区别在拓扑学中尤为重要。(maths.tcd.ie)

代数中的例子

在群论中，同构保持乘法、单位元和逆元。一个基本例子是通过 $n\mapsto2^n$ ，在整数加法群与乘法群 $\{2^n:n\in\mathbb Z\}$ 之间建立同构。由于 $2^{m+n}=2^m2^n$ ，这一对应保持群运算。因此，同构的群具有相同的结构性质，包括交换性以及对应元素的阶。(jmilne.org)

在抽象代数中，环（数学）的同构保持加法和乘法；如果所采用的约定有此要求，还须保持乘法单位元。域（数学）的同构保持域运算。因此，必须明确指定所比较的结构，而不能仅凭它们的底层集合来推断。(categorytheory.gitlab.io)

群的第一同构定理指出，同态 $\varphi:G\to H$ 诱导出同构

G/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi.

这里的商将具有相同像的元素视为同一元素。该定理精确说明了：除去被同态压缩掉的信息后，所得结构与该同态的像同构。(jmilne.org)

向量空间与坐标

在线性代数中，同一域上的向量空间之间的同构是双射的线性映射。它保持向量加法和标量乘法，并将一组基映为一组基。固定域上的有限维向量空间同构，当且仅当它们具有相同的维数（向量空间）。因此，每个 $n$ 维实向量空间都与 $\mathbb R^n$ 同构。(opentext.uleth.ca)

选定一组有序基（线性代数） $B=(v_1,\ldots,v_n)$ ，便得到坐标同构

c_1v_1+\cdots+c_nv_n\longmapsto(c_1,\ldots,c_n).

例如，次数不超过二的实多项式所构成的空间，通过 $a+bx+cx^2\mapsto(a,b,c)$ 与 $\mathbb R^3$ 同构。这里讨论的是它的向量空间结构，而非多项式乘法。(opentext.uleth.ca)

这种用坐标建立的对应依赖于所选的基。对于两个维数相同的有限维向量空间之间的线性映射，其表示矩阵可逆，当且仅当该映射是同构。因此，坐标计算能够确立抽象结构之间的对应，但这并不意味着向量本身与坐标元组完全相同。(opentext.uleth.ca)

拓扑结构与度量结构

在拓扑学中，适当的同构概念是同胚：即逆映射也连续的双射连续函数。只有一个方向的连续性是不够的。例如，从赋予离散拓扑的实数直线到赋予通常拓扑的实数直线的恒等映射是连续双射，但其逆映射并不连续。因此，该映射不能将这两个空间视为等价的拓扑对象。(sites.math.northwestern.edu)

对于度量空间，相关的对应取决于允许采用哪些映射。如果采用连续映射，同构就是同胚。如果采用不增大距离的映射，同构就是双射的等距映射，它精确保持所有距离。同胚不一定保持距离，因此拓扑等价与度量等价提出了不同的要求。(sites.math.northwestern.edu)

图与不变量

简单图之间的图同构是其顶点集之间保持邻接关系和非邻接关系的双射。顶点的名称和图的绘制布局无关紧要；边的连接模式必须完全对应。对于有限图，这意味着通过适当排列顶点，可以使它们的邻接矩阵完全相同。(maths.tcd.ie)

同构的图具有相同的顶点数和边数，对应顶点的度也相同。这类性质称为不变量，可用于证明两个图不同构。然而，仅凭顶点度数相匹配，并不能确定同构。例如，一个六顶点的环与两个互不相交的三角形，都有六个度为二的顶点，但只有前者是连通的；它们之间不存在保持邻接关系的双射。(people.math.sc.edu)

范畴论表述

在一个范畴中，态射 $f:A\to B$ 是同构，当且仅当存在态射 $g:B\to A$ ，满足

g\circ f=\operatorname{id}_A,\qquad f\circ g=\operatorname{id}_B.

逆态射是唯一的。恒等态射是同构，同构的逆是同构，同构的复合也是同构。因此，同构关系在范畴的对象上定义了一个等价关系。“在同构意义下”进行分类，区分的是结构类型，而非具体的呈现方式。(categorytheory.gitlab.io)

从一个对象到其自身的同构称为自同构。自同构描述该对象保持结构的对称性，并在复合运算下构成一个群。一个对象可能具有许多自同构，因此，知道两个对象同构，通常并不能确定它们之间唯一的对应。(jmilne.org)