勒文海姆–斯科伦定理

勒文海姆–斯科伦定理是模型论中的一项基本结果，讨论满足一阶逻辑理论的结构可以具有怎样的大小。在常见的可数语言版本中，该定理断言：如果一个理论有无穷模型，那么它就有每一种无穷基数大小的模型，其中包括可数无穷模型。更强的结构性表述则保证了初等子结构和初等扩张的存在，即保持一阶公式真值的较小或较大的结构。向下版本与向上版本共同表明，一阶理论无法在所有基数范围内唯一刻画一个无穷结构。(people.maths.ox.ac.uk)

逻辑背景

一阶语言，也称符号表，规定了常量符号、函数符号和关系符号。结构在一个非空论域上解释这些符号；理论则是该语言中的一组语句。如果一个结构满足某个理论的每条语句，它就是该理论的模型。模型的大小指其论域的基数。(thecatbus.github.io)

结构 $M$ 的初等子结构 $N$ ，记作 $N\preccurlyeq M$ ，是满足如下条件的子结构：对于每个一阶公式 $\varphi(\bar x)$ 和每个由 $N$ 中元素组成的有限元组 $\bar a$ ，都有

N\models\varphi(\bar a) \quad\Longleftrightarrow\quad M\models\varphi(\bar a).

因此，即使公式含有来自较小结构的参数，其真值也保持不变。等价地， $M$ 是 $N$ 的初等扩张。这一条件比仅仅满足相同的语句更强，也远强于普通子结构的条件。(math.libretexts.org)

向下与向上形式

设 $L$ 为一阶语言， $M$ 为无穷 $L$ -结构。用 $|L|$ 表示非逻辑符号的数量，用 $\aleph_0$ 表示自然数集的基数。

向下勒文海姆–斯科伦定理。 对于每个子集 $A\subseteq M$ ，都存在包含 $A$ 的初等子结构 $N\preccurlyeq M$ ，使得

|N|\leq\max\{|A|,|L|,\aleph_0\}.

更精确地说，只要

\max\{|A|,|L|,\aleph_0\}\leq\kappa\leq|M|,

就可以选取这样的 $N$ ，使 $|N|=\kappa$ 。(people.maths.ox.ac.uk)

向上勒文海姆–斯科伦定理。 对于每个满足

\kappa\geq\max\{|M|,|L|,\aleph_0\}

的基数 $\kappa$ ，都存在初等扩张 $N\succcurlyeq M$ ，使 $|N|=\kappa$ 。因此，如果一个 $L$ -理论有无穷模型，那么对于每个不小于 $|L|$ 的无穷基数，它都有相应大小的模型。(people.maths.ox.ac.uk)

因此，对于有限或可数无穷的语言，向下定理保证每个无穷结构都有一个可数无穷的初等子结构。这里不需要假定理论是可计算公理化的：相关的大小界限取决于语言及其中可用的公式。(thecatbus.github.io)

证明思路

向下定理的证明通过保留存在量词公式的见证来进行。首先选定一组元素。只要对于已经纳入的参数有

M\models\exists x\,\varphi(x,\bar a),

就加入一个使该命题成立的见证元素。同时纳入各常量的解释，并使所得集合对语言中的函数封闭。将这一过程重复可数多个阶段，然后取并集。并集中的每个有限元组都出现在某个阶段，因此，每个所需的存在量词见证都会在后续阶段出现。随后，塔斯基–沃特判别法便可证明所得子结构是初等子结构。(math.libretexts.org)

基数界限来自以下事实：公式的数量至多为 $\max\{|L|,\aleph_0\}$ ，每个公式只使用有限多个参数，而每个阶段仅加入相应的见证和函数值。因此，若从 $\kappa$ 个元素开始，其中 $\kappa$ 是不小于 $|L|$ 的无穷基数，最终得到的元素数量就恰好为 $\kappa$ 。(thecatbus.github.io)

向上定理的证明使用紧致性定理。加入 $\kappa$ 个新常量，以及要求不同常量指称不同元素的语句。每个有限子集都可在一个无穷模型中得到满足，因此紧致性保证存在至少含有 $\kappa$ 个元素的模型。再用向下定理将其大小缩减至恰好为 $\kappa$ 。为了得到初等扩张，还需加入原结构的初等图式：即在为其元素添加名称后，所有在该结构中为真的语句。(math.libretexts.org)

斯科伦悖论

一个重要应用涉及策梅洛—弗兰克尔集合论及其加入选择公理后的扩展 ZFC。它们都是可数语言中的一阶理论。如果 ZFC 是一致的，那么哥德尔完备性定理保证它有模型，而勒文海姆–斯科伦定理进一步保证它有可数模型。然而，这个模型满足康托尔定理，因而断言存在不可数集。这种表面上的冲突称为斯科伦悖论。(plato.stanford.edu)

这里并不存在矛盾。从可数模型外部来看，一个在模型内部被视为不可数的集合，实际上只有可数多个成员。然而，外部的枚举未必能由属于该模型的某个函数来表示。模型关于不可数性的断言排除的是其自身宇宙内部的适当枚举函数，而不是外部所有可用的函数。此外，模型的成员关系也未必是普通成员关系在某个传递集族上的限制。(plato.stanford.edu)

这一应用是有条件的：定理本身并不能证明 ZFC 是一致的，也不能证明它有模型。(people.maths.ox.ac.uk)

表达能力的局限

基数不同的模型不可能同构。因此，任何具有无穷模型的一阶理论，都不可能在所有大小的模型中，在同构意义下恰好只有一个模型。这并不妨碍理论具有指定基数上的范畴性，即在该特定大小的模型中具有唯一性。这一区别将不受大小限制的唯一性与针对特定基数的分类区分开来。(thecatbus.github.io)

该定理是一阶逻辑所特有的，在完全语义下的二阶逻辑中一般并不成立。二阶量词遍历相应类型的所有子集或关系，因此可以用语句刻画可数论域，或要求论域不可数。这类语句直接阻碍了相应的向上或向下结论。(builds.openlogicproject.org)

勒文海姆–斯科伦定理与完备性和紧致性一道，揭示了一阶逻辑所特有的优势与局限：它具有强有力的模型存在性结果，却无法确定无穷论域的大小。(builds.openlogicproject.org)

历史发展

利奥波德·勒文海姆于 1915 年在关系演算的框架内确立了最初的结果。托拉尔夫·斯科伦在 1920 年给出了一个更简单的证明，又在 1922 年给出了另一种证明，改进了构造小模型的方法。斯科伦在 1922 年关于公理化集合论的讨论中，还提出了涉及可数模型与内部不可数集的表面悖论。与最初的表述相比，现代的初等子结构术语能够更精确地表达这些结果。(richardzach.org)

参考来源

Mathematical Logic II, Section 6: Elementary Extensionspeople.maths.ox.ac.uk
4: Substructures and the Löwenheim-Skolem Theoremsmath.libretexts.org
Model Theory: Theorems of Löwenheim and Skolemthecatbus.github.io
Skolem’s Paradoxplato.stanford.edu
Open Logic Textbuilds.openlogicproject.org
The Development of Mathematical Logicrichardzach.org