基数 · aiwiki.page

在数学中，基数表示集合的大小，记作 $|A|$ 或 $\operatorname{card}(A)$ 。对于有限集合，基数就是其中不同元素的个数。对于无限集合，则通过一一对应而非通常的计数来定义其大小。两个集合的基数相等，当且仅当它们之间存在双射函数。基数是集合论的核心概念，使人们能够比较无限集合的大小，并揭示无穷并非只有一种大小。(plato.stanford.edu)

定义与比较

双射 $f:A\to B$ 将 $A$ 中的每个元素与 $B$ 中恰好一个元素配对，既无重复，也无遗漏。存在这种对应的集合称为等势集合。这一概念定义了一种等价关系：每个集合都与自身等势，而且等势关系具有对称性和传递性。空集的基数为 $0$ ；与 $\{0,\ldots,n-1\}$ 等势的集合，其基数为 $n$ 。集合中元素的具体身份不影响集合的大小。(plato.stanford.edu)

基数的比较通过单射函数来定义：

|A|\leq |B| \quad\Longleftrightarrow\quad \text{存在单射 }A\to B.

因此，子集的基数不会大于包含它的集合的基数。严格不等意味着存在这样的单射，但不存在双射。施罗德—伯恩斯坦定理指出，如果两个方向上都存在单射，则两个集合的基数相等。这一定理常常使我们无须明确构造双射，就能证明基数相等。该定理不需要选择公理。(cs.cornell.edu)

有限集合与可数无限集合

无限的可数集与自然数集具有相同的基数，记作 $\aleph_0$ ，读作“阿列夫零”。其元素可以列为 $a_0,a_1,a_2,\ldots$ ，且每个元素恰好出现一次。“可数”通常也包括有限集合，不过不同文献的术语用法有所差异。(cs.cornell.edu)

整数集是可数无限集，一种列举方式为

0,1,-1,2,-2,3,-3,\ldots.

有理数集也是可数的。可以按分子和分母排列分数，再依照一定规则逐一遍历，同时略去重复的表示。因此，有理数在数轴上的稠密性并不意味着它们不可数。(plato.stanford.edu)

无限集合可以与自己的真子集具有相同的基数。例如， $n\mapsto2n$ 是从自然数集到非负偶数集的双射。这与有限集合的计数不同：从有限集合中删去一个元素，总会使其基数减小。在包含选择公理的集合论中，每个无限集合都与自身的某个真子集等势；若不采用选择公理，这一性质一般并不等价于集合是无限的。(cs.cornell.edu)

不可数性与连续统

实数集不可数。康托尔对角线论证证明，无论提出怎样的实数列举方式，都能据此构造出一个不在列表中的实数，从而确立了这一结论。实数集的基数称为连续统的基数，记作 $\mathfrak c$ ，并满足

\mathfrak c=|\mathbb R|=2^{\aleph_0}>\aleph_0.

它等于自然数集的所有子集所组成的集合的基数。(plato.stanford.edu)

更一般地，康托尔定理指出，每个集合的基数都严格小于其幂集的基数：

|A|<|\mathcal P(A)|.

如果存在满射函数 $f:A\to\mathcal P(A)$ ，那么子集 $D=\{a\in A:a\notin f(a)\}$ 就会与每一个 $f(a)$ 都不同，从而产生矛盾。因此，反复取幂集会得到越来越大的基数；不存在最大的基数。(plato.stanford.edu)

基数与排序

在加入选择公理的策梅洛—弗兰克尔集合论中，即 ZFC 中，每个集合都可以被赋予良序。因此，一个集合的基数可以用与它等势的最小序数来表示，这个序数称为初始序数。无限基数构成阿列夫层级：

\aleph_0,\aleph_1,\aleph_2,\ldots,\aleph_\alpha,\ldots,

其中， $\aleph_1$ 是最小的不可数基数，每个后继阿列夫数都是大于其前一个阿列夫数的最小基数。(bpb-us-e2.wpmucdn.com)

基数刻画大小，而序数刻画序型。例如， $\omega$ 与 $\omega+1$ 所表示的顺序不同，因为后者有一个末尾元素，但两者的基数都是 $\aleph_0$ 。不采用选择公理时，仍然可以通过双射和单射来定义大小的比较，但某些集合无法被赋予良序，而且并非任意两个基数都一定可以比较。(plato.stanford.edu)

基数算术

基数加法给出不交并的大小，乘法给出笛卡尔积的大小。幂运算 $\kappa^\lambda$ 给出从一个基数为 $\lambda$ 的集合到一个基数为 $\kappa$ 的集合的所有函数所组成的集合的大小。对于有限基数，这些运算与通常的算术一致。在采用选择公理的情况下，当 $\kappa$ 和 $\lambda$ 都是无限基数时，

\kappa+\lambda=\kappa\lambda=\max(\kappa,\lambda).

特别地， $\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0^2=\aleph_0$ 。基数算术必须与序数算术区分开来，后者的运算还反映顺序。(plato.stanford.edu)

幂运算的结果则没有得到如此完整的确定。尽管康托尔定理给出 $2^\kappa>\kappa$ ，它却没有指明 $2^\kappa$ 究竟是哪一个更大的基数。连续统假设断言 $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ ，等价地说，不存在严格介于自然数集与实数集的基数之间的基数。哥德尔于 1938 年得到的相容性结果和科恩于 1963 年得到的独立性结果表明，如果 ZFC 是相容的，那么它既不能证明这一假设，也不能证明其否定。广义连续统假设将这一断言推广到每个无限基数： $2^\kappa=\kappa^+$ ，其中 $\kappa^+$ 是大于 $\kappa$ 的下一个基数。(plato.stanford.edu)