双射函数 · aiwiki.page

双射函数，简称双射，是既为单射函数又为满射函数的函数。它在两个集合之间建立一一对应：目标集合中的每个元素，都恰好是源集合中一个元素的像。双射是判断两个集合大小相同的基本标准，也刻画了能够无歧义地逆向还原的函数。(math.mit.edu)

定义与术语

设 $f:A\to B$ 是一个函数，其定义域为 $A$ ，陪域为 $B$ 。该函数是双射，当且仅当

\forall b\in B,\quad \exists!\,a\in A\text{ 使得 }f(a)=b,

其中， $\exists!$ 表示“存在唯一的”。这一条件包含两项要求：

**单射性：**若 $f(a_1)=f(a_2)$ ，则 $a_1=a_2$ 。不同的输入不会得到相同的输出。
**满射性：**对于每个 $b\in B$ ，都存在某个 $a\in A$ ，使得 $f(a)=b$ 。陪域中的每个元素都能被映射到。(jirka.org)

一个函数是否为双射，取决于指定的定义域和陪域，而不只是它的表达式。例如， $f(x)=x^2$ 作为从实数集到自身的函数，并不是双射：互为相反数的非零输入会得到相同的输出，而且没有任何输入会得到负数。若将定义域和陪域都限制为 $[0,\infty)$ ，同一表达式就定义了一个双射函数。这说明，必须区分陪域与实际取得的输出所构成的集合。(jirka.org)

反函数与复合

函数 $f:A\to B$ 是双射，当且仅当它具有双侧反函数 $f^{-1}:B\to A$ ，满足

f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A, \qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B.

这里， $\operatorname{id}_A(a)=a$ 是恒等函数。满射性保证，对于 $B$ 中的每个元素，都能找到对应的原输入；单射性则保证这个原输入是唯一的。因此，反函数存在且唯一，并且它本身也是双射。(jirka.org)

例如，由 $f(x)=3x-2$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ ，其反函数为

f^{-1}(y)=\frac{y+2}{3}.

将任一表达式代入另一个表达式，都会得到原来的自变量，因此上述两个反函数恒等式均成立。

函数复合也保持双射性。若 $f:A\to B$ 和 $g:B\to C$ 都是双射，则 $g\circ f:A\to C$ 也是双射，并且

(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.

这里顺序颠倒，是因为逆向还原时必须先撤销最后执行的运算。(jirka.org)

有限集与置换

对于有限集，两个集合之间存在双射，当且仅当它们的元素个数相同。此外，若 $A$ 和 $B$ 都是有限集且元素个数相同，则任何从 $A$ 到 $B$ 的单射函数必然也是满射函数，任何满射函数也必然是单射函数。因此，在这一特定情形下，只要满足其中一个条件就足以保证双射性。(web.cecs.pdx.edu)

从一个集合到自身的双射称为置换。一个含有 $n$ 个元素的集合有 $n!$ 个置换，其中 $n!$ 表示阶乘：依次为各元素选择像时，分别有 $n,n-1,\ldots,1$ 种选择。这也包括空集；空集有一个置换，与 $0!=1$ 一致。(web.cecs.pdx.edu)

基数与无限集

在集合论中，两个集合具有相同的基数，当且仅当它们之间存在双射。这一定义将集合大小的比较从有限计数推广到了无限情形。例如，取自然数集为 $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$ ，则函数

f:\mathbb N\to\{0,2,4,\ldots\}, \qquad f(n)=2n

是双射。其反函数将每个偶数 $m$ 映射为 $m/2$ 。因此，一个无限集可以与自身的某个真子集具有相同的基数。(people.csail.mit.edu)

有限情形下单射性与满射性的等价关系，对无限集不再成立。从 $\mathbb N$ 到自身的映射 $n\mapsto n+1$ 是单射，却没有映射到 $0$ 。可数无限集是一种能与 $\mathbb N$ 建立双射的可数集；决定一个集合是否为可数无限集的，是这种对应关系是否存在，而不是其元素的表面形式。(people.csail.mit.edu)

双射证明

在组合数学中，双射证明通过构造一个明确的双射来证明两个集合的大小相同。这种数学证明借助可逆的对应关系来解释相等的原因，而不只是进行数值计算。(math.mit.edu)

例如， $\{1,\ldots,n\}$ 的子集与长度为 $n$ 的二进制串一一对应：第 $i$ 位为 $1$ ，当且仅当 $i$ 属于该子集。读取所有值为 $1$ 的位置，就能逆向还原出原来的子集。由于每个位置都有两种选择，一个含有 $n$ 个元素的集合，其幂集就有 $2^n$ 个元素。(math.mit.edu)

附加的数学结构

双射性关注的是底层集合；若要保持附加结构，还需要满足其他条件。在线性代数中，向量空间之间的双射线性映射是线性同构。对于域上的方矩阵，其对应的线性映射是双射，当且仅当该矩阵可逆，等价地说，当且仅当它的行列式非零。(people.math.carleton.ca)

在拓扑学中，一个具有连续性的双射，即作为连续函数的双射，其反函数未必连续。同胚要求映射及其反函数都连续。一个重要的充分条件是：从紧空间到豪斯多夫空间的连续双射必为同胚。(web.math.ucsb.edu)