商集 · aiwiki.page

商集是将一个集合的元素按照某个等价关系分组，再把每一组视为新集合中的一个元素而得到的集合。若原集合为 $X$ ，等价关系为 $\sim$ ，则商集记作 $X/{\sim}$ 。它的元素是等价类，而不是 $X$ 中的单个元素。这一构造为代数学和拓扑学中的许多商构造提供了集合论基础。(webhomes.maths.ed.ac.uk)

定义与划分

$X$ 上的等价关系具有自反性、对称性和传递性。对于 $x\in X$ ，定义

[x]_{\sim}=\{y\in X:y\sim x\}.

商集为

X/{\sim}=\{[x]_{\sim}:x\in X\}.

当所用关系明确时，通常省略下标。由于每个等价类都是 $X$ 的子集，商集本身就是幂集 $\mathcal P(X)$ 的子集。一个基本的等价式是

[x]=[y]\quad\Longleftrightarrow\quad x\sim y.

因此，不同的代表元可以表示商集中的同一个元素。(webhomes.maths.ed.ac.uk)

这些等价类构成 $X$ 的一个集合划分：每个等价类都非空，不同等价类互不相交，所有等价类的并集为 $X$ 。反过来，一个划分也确定了一个等价关系：规定两个元素等价，当且仅当它们属于同一个划分块。此时，商集就是所有划分块组成的集合。(webhomes.maths.ed.ac.uk)

典范投影与泛性质

典范投影也称典范满射，是指函数

q:X\longrightarrow X/{\sim},\qquad q(x)=[x].

它是一个满射函数，并且满足

q(x)=q(y)\quad\Longleftrightarrow\quad x\sim y.

因此，它恰好将该关系所规定的等价元素视为同一个元素。(maths.ed.ac.uk)

典范投影的泛性质刻画了定义在商集上的函数。若 $f:X\to Y$ 在每个等价类上取值恒定，即

x\sim y\Longrightarrow f(x)=f(y),

则存在唯一的函数

\bar f:X/{\sim}\longrightarrow Y

使得

f=\bar f\circ q.

具体而言， $\bar f([x])=f(x)$ 。由于 $f$ 在每个等价类上取值恒定，这一定义与代表元的选择无关；而 $q$ 的满射性保证了唯一性。这一过程称为通过商集分解或下降到商集。(maths.ed.ac.uk)

泛性质确定了商集及其投影，精确到一个与投影相容的唯一双射函数。因此，商集可以用一个更方便的集合来表示，而不必在形式上就是一族子集。(xenaproject.wordpress.com)

示例

整数模一个正整数

在整数集上，固定 $n\geq1$ ，并定义

a\sim b\quad\Longleftrightarrow\quad n\mid(a-b).

各等价类为

[a]=a+n\mathbb Z,

商集恰有 $n$ 个元素：

\mathbb Z/n\mathbb Z=\{[0],[1],\ldots,[n-1]\}.

例如，模 $3$ 时，数 $1$ 、 $4$ 和 $-2$ 表示同一个元素。这一商集是模算术的基础。(maths.ed.ac.uk)

函数取值相同的元素

每个函数 $f:X\to Y$ 都诱导一个等价关系

x\sim_f x'\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=f(x').

对应规则 $[x]\mapsto f(x)$ 给出一个双射

X/{\sim_f}\longrightarrow f(X),

其中 $f(X)$ 是 $f$ 的像。特别地，每个满射都将其目标集呈现为定义域的某个商集的一种具体表示。(maths.ed.ac.uk)

对于实数上的平方函数，等价类为 $\{x,-x\}$ ，其中 $\{0\}$ 是仅含一个元素的等价类。非负实数恰好从每个等价类中提供一个代表元。(maths.ed.ac.uk)

代表元与良定义的构造

一个等价类的代表元是该类中的任意一个元素。完全代表系包含每个等价类中的恰好一个元素。它是给商集元素加以标记的一种方式，并不是定义商集的那族等价类。不同的选择可以用来标记同一个商集。(maths.ed.ac.uk)

用代表元给出的公式必须对同一等价类中的每个代表元都产生相同的结果。例如，拟定的规则

F([x])=g(x)

能够定义所要的函数，当且仅当 $x\sim y$ 蕴含 $g(x)=g(y)$ 。从每个等价类中选取一个代表元，可能得到另一种依赖于选择的构造；这并不能证明原规则与代表元的选择无关。(xenaproject.wordpress.com)

同样，若拟用

[x]\star[y]=[x*y]

定义一个二元运算，就必须满足

x\sim x',\quad y\sim y' \quad\Longrightarrow\quad x*y\sim x'*y'.

模加法满足这一条件，因此 $[a]+[b]=[a+b]$ 是良定义的。任意的等价关系未必满足这样的相容性条件。(maths.ed.ac.uk)

带有附加结构的商

商集提供了带结构的商对象的底层元素，但附加结构还需要各自的定义和相容性条件。

在群论中，子群 $H$ 的陪集构成商集 $G/H$ 。当 $H$ 是正规子群时，通常的乘法

(gH)(kH)=gkH

使这个集合成为商群；正规性保证了运算与代表元的选择无关。(jmilne.org)

对于环 $R$ 及其双边理想 $I$ ，由 $a-b\in I$ 定义的等价关系 $a\sim b$ 的各等价类构成商环 $R/I$ ，其加法和乘法由 $R$ 中的运算诱导。(sites.millersville.edu)

在拓扑学中，商空间是在商集上赋予商拓扑而得到的空间：

U\subseteq X/{\sim}\text{ 是开集} \quad\Longleftrightarrow\quad q^{-1}(U)\text{ 是 }X\text{ 中的开集}.

例如，将区间 $[0,1]$ 的两个端点视为同一点，会得到一个与圆周同胚的空间。商集记录了哪些点被视为同一点，而商拓扑则赋予它拓扑结构。(webhomes.maths.ed.ac.uk)

参考来源

An Introduction to Sets and Their Applicationswebhomes.maths.ed.ac.uk
MAT3-ALG algebra 2006/7 — Lecture Notesmaths.ed.ac.uk
Interlude on Setsmaths.ed.ac.uk
Formalising Mathematics: workshop 7 — quotientsxenaproject.wordpress.com
Elementary Topology: Problem Textbookwebhomes.maths.ed.ac.uk
Group Theoryjmilne.org
Quotient Ringssites.millersville.edu