等价类

等价类是一个集合中在指定的等价关系下彼此等价的元素所组成的集合。它将本身可能有所不同的对象，出于特定目的视为同一个对象的不同实例。等价类提供了一种精确的方法，可将集合组织成互不重叠的组，并利用已有的数学对象构造新的数学对象。等价类广泛出现于集合论、代数、分析和计算机科学中。(cs.cornell.edu)

定义与记号

设 $X$ 为一个集合，$\sim$ 为 $X$ 上的等价关系。这是一种满足以下三个条件的二元关系：自反性，$x\sim x$；对称性，$x\sim y\Rightarrow y\sim x$；传递性，$x\sim y$ 且 $y\sim z\Rightarrow x\sim z$。对于 $a\in X$，其等价类是如下子集：

当所用的关系明确时，通常省略下标。一个等价类中的任意元素都称为该类的代表元。(pi.math.cornell.edu)

代表元并不是等价类本身：$a$ 是 $X$ 的一个元素，而 $[a]$ 是 $X$ 的一个子集。不同的代表元可以表示同一个等价类。因此，元素之间的等价关系与等价类之间的相等关系满足

所依托的集合和关系至关重要：改变其中任何一个，都可能改变同一符号所表示的等价类。(jirka.org)

与集合划分的关系

一个等价关系的各个等价类构成 $X$ 的一个集合划分。每个等价类都非空，因为 $a\in[a]$；每个元素都属于某个等价类；任意两个等价类要么相同，要么不相交。因此，每个元素恰好属于一个不同的等价类。反过来，任何集合划分都能确定一个等价关系：规定两个元素等价，当且仅当它们属于划分中的同一块。(pi.math.cornell.edu)

关于不相交性的断言有一个简短的数学证明。假设 $c\in[a]\cap[b]$。则 $c\sim a$ 且 $c\sim b$，由对称性和传递性可得 $a\sim b$。若 $x\in[a]$，由传递性可得 $x\sim b$，因此 $[a]\subseteq[b]$。反向运用同样的论证，可得相反方向的包含关系。因此，等价类不可能只有部分重叠。不过，它们的大小不一定相等。(pi.math.cornell.edu)

商集与诱导函数

商集是以各个不同的等价类为元素的集合：

典范投影

是一个满射函数。它的纤维恰好就是各个等价类：$\pi(x)=\pi(y)$ 当且仅当 $x\sim y$。因此，取商集就是将等价的元素视为同一个元素，而不必选定某个特定的代表元。(pi.math.cornell.edu)

用代表元定义的规则必须与代表元的选择无关。给定一个函数 $f:X\to Y$，公式

定义了一个良定义函数，当且仅当 $x\sim y$ 蕴含 $f(x)=f(y)$。当这一条件成立时，$\bar f$ 唯一，且 $f=\bar f\circ\pi$。这一分解体现了商集的一项泛性质。在定义等价类上的运算时，这也是所用的基本检验条件。(pi.math.cornell.edu)

数的例子

在模算术中，若两个整数之差能被正整数 $n$ 整除，就称它们模 $n$ 等价。$a$ 的等价类为

例如，模 $3$ 时，$[1]$ 包含 $\ldots,-5,-2,1,4,7,\ldots$。此时恰好有三个等价类，分别以 $0,1,2$ 为代表元。更一般地，$0,\ldots,n-1$ 为每个等价类各提供一个代表元。代表元的加法和乘法可诱导出这些等价类上的运算。(pi.math.cornell.edu)

有理数可以由整数的有序对 $(a,b)$ 构造，其中 $b\ne0$，并定义

因此，$(1,2)$、$(2,4)$ 和 $(-3,-6)$ 属于同一个等价类。有理数是这个等价类本身，而不同的分数则是它的不同表示。这一构造将数值与表达该数值的记号区分开来。(pi.math.cornell.edu)

实数的一种构造方法使用有理数柯西序列的等价类。当两个这样的序列 $(a_k)$ 和 $(b_k)$ 之差的极限为零时，就称它们等价：

每个等价类便成为一个实数。逐项相加和逐项相乘可以定义等价类上的运算，因为将任一序列替换为与之等价的序列，都不会改变结果所属的等价类。(pi.math.cornell.edu)

向量空间与计数

对于向量空间 $V$ 及其线性子空间 $W$，规定 $v\sim u$ 当且仅当 $v-u\in W$。$v$ 的等价类是陪集

这些等价类构成商向量空间 $V/W$，其加法为 $(v+W)+(u+W)=(v+u)+W$。它的零元素是整个等价类 $W$。当 $V$ 为有限维空间时，商空间的维数为 $\dim V-\dim W$。(math.stanford.edu)

在组合数学中，等价类可避免将同一对象的不同表示当作不同对象重复计数。对于由 $k$ 个互异元素组成的有序列表，可以规定：只要所含元素相同，无论顺序如何，就视为等价。这样，每个等价类都有 $k!$ 个成员，而这些等价类与含 $k$ 个元素的子集一一对应。若有限集合 $X$ 被划分为大小均为 $m$ 的等价类，则等价类的个数为 $|X|/m$。当各等价类的大小不同时，不能直接套用这一除法计数规则。(discrete.openmathbooks.org)