组合数学是数学的一个分支，研究离散对象及其选取、排列、连接方式和约束条件。其核心问题包括：有多少个结构满足指定条件，这样的结构是否存在，它们必然具备哪些性质，以及如何构造这些结构。典型的研究对象包括置换、图、集合族和划分。虽然初等计数是入门的起点，但组合数学也广泛运用代数、几何学和概率。(ocw.mit.edu)
研究对象与基本问题
研究组合问题，首先要明确对象，并确定在什么情况下两个对象算作不同的对象。顺序、重复和标号都可能使答案发生显著变化。选出三个人组成委员会，与将三个人分别安排到三个不同职位上并不相同：前者不考虑顺序，后者则区分各人的职务。组合与排列公式正是建立在这些区别之上的。(dspace.mit.edu)
图论研究由顶点和边组成的结构，其中顶点表示对象，边表示对象之间的连接。集合划分将一个集合分成若干非空且两两不相交的块。偏序描述一种比较关系，但不要求每一对元素都能相互比较。围绕这些结构，可以研究计数、连通性、排列以及结构约束等问题。(math.mit.edu)
计数与证明存在性是不同的任务。证明至少存在一个符合要求的对象，并不一定能给出这类对象的确切数量或具体构造方法。反过来，计数公式也可能通过恒等式、对称性或与其他对象族的联系，揭示结构信息。这一区别有助于理解组合数学各个方向为何采用不同的方法。(ocw.mit.edu)
初等计数
加法原理通过将互不相交的各类的大小相加，求出所有备选对象的总数。乘法原理用于计算分步选择的数量，前提是每一种尚未完成的选择都有确定数量的后续选择。将其用于 个不同对象的排列，就得到置换的数量：
其中 称为阶乘，且 。从 个不同对象中选取 个并排列，共有 种方式。如果不考虑顺序，则每一种选取方式都被重复计算了 次，由此得到二项式系数：
例如，从五个不同对象中选出两个，有十种选法；如果还要排列这两个不同对象，则有二十种方式。(dspace.mit.edu)
抽屉原理指出，将多于 个对象放入 个类别，必然有某一类至少包含两个对象。容斥原理则通过逐步纠正重复计数，处理各类之间存在重叠的情况。对于两个有限集合，有
这些原理表明，计数论证无须列举所有可能性，也能证明对象必然具备的性质。(math.cmu.edu)
枚举与生成函数
枚举组合学为由参数确定的各类对象寻求计数公式或系统性的计数描述。两个有限对象族之间的双射函数可以证明它们的大小相同。双重计数则通过用两种不同方式计算同一批对象的数量，建立恒等式。这两种方法不仅从代数上验证数值相等，还能解释它们为何相等。(math.cmu.edu)
递推关系用规模较小的情形的计数结果来表示当前的计数结果，通常是根据初始选择将对象分解而得到的。生成函数则将计数序列组织成一个形式级数：
其中， 的系数记录了 ；级数上的代数运算可以表示相应对象的组合方式。形式运算不必依赖级数在 取具体数值时是否收敛。(math.libretexts.org)
例如， 中 的系数是 ，因为每个因子提供的项不是 就是 。卡塔兰数
是另一个经常出现的数列，可以用来计算由 对括号组成的合法配对括号串，以及有 个顶点的凸多边形的三角剖分等对象的数量。(math.libretexts.org)
结构、极值与概率方法
极值组合学研究在指定限制条件下，一个结构的规模最大或最小可以达到多少。相关问题包括：在满足某些相交条件的情况下，确定一个子集族的大小界限；或者确定一个不含特定构型的图最多能有多少条边。研究目标通常是给出最优界，并描述达到该界的结构。(math.mit.edu)
概率方法通过定义一种随机构造，并证明它以正概率满足所需性质，来证明对象的存在性。这种证明不一定能指出某个具体的符合要求的对象。期望值和概率估计使研究者能够控制不希望出现的特征，或证明符合要求的构型必然存在。(yufeizhao.com)
代数组合学研究离散结构与代数运算之间的联系。运用线性代数、群论和多项式的技术，可以揭示计数公式和结构性质。反过来，组合模型也能使代数关系变得具体。这个领域还将枚举问题与几何对象及表示论联系起来。(math.mit.edu)
算法与应用
组合结构是计算机科学的基础，其中的算法可以用于搜索、生成离散构型，或对其进行优化。数学优化问题寻求最优的可行安排，而不只是计算所有安排的数量。计算复杂性区分了两个问题：解在数学上是否存在，以及找到解需要多少资源。因此，组合方法和概率方法既有助于算法的设计，也有助于算法的分析。(math.mit.edu)
当科学问题能够用离散结构表示时，组合数学也能发挥作用。基因组分析涉及序列之间的排列和关系；演化关系则可以用树表示。在统计力学中，离散模型将有关物理系统的问题转化为有关构型及其相互作用的问题。这些应用说明，组合数学的研究范围远远超出了初等的选取与排列问题。(math.mit.edu)