群论

群论是抽象代数的一个分支，研究对象是群，即配备一种运算的集合，这种运算满足关于复合、单位元和逆元的严格规则。无论群的元素是数、置换、矩阵还是几何变换，群都为描述对称性提供了统一的语言。群论研究群的内部结构、群之间的关系，以及群在其他对象上的作用，将代数与几何学及数学的许多其他领域联系起来。(math.mit.edu)

定义与基本例子

群由一个集合 $G$ 和一种二元运算组成，该运算通常写作乘法。定义群的公理如下：

• 封闭性： 若 $a,b\in G$，则 $ab$ 也属于 $G$。
• 结合律： $(ab)c=a(bc)$。
• 单位元： 存在一个元素 $e$，满足 $ea=ae=a$。
• 逆元： 每个元素 $a$ 都有一个元素 $a^{-1}$，满足 $aa^{-1}=a^{-1}a=e$。

也可以将运算定义为映射 $G\times G\to G$，从而把封闭性纳入运算的定义之中。单位元以及每个元素的逆元都是唯一的。群不要求满足交换律；若对任意元素都有 $ab=ba$，则称其为阿贝尔群。(math.mit.edu)

整数在加法运算下构成一个群，其单位元为 $0$，元素 $a$ 的逆元为 $-a$。在模算术中，模正整数 $n$ 的剩余类构成一个含有 $n$ 个元素的加法群。这两个例子都是循环群，也就是说，从一个生成元出发，反复施行群运算就能得到群中的每个元素。每个循环群都是阿贝尔群，但并非每个阿贝尔群都是循环群。(ocw.mit.edu)

对称群 $S_n$ 由 $n$ 个对象的所有置换组成，以函数复合作为运算，共有 $n!$ 个元素。正 $n$ 边形的二面体群包含它的 $n$ 个旋转和 $n$ 个反射。在一个域（数学）上，固定阶数的可逆方矩阵在矩阵乘法下构成一个群。这些例子表明，群运算不必类似于通常的数值乘法。(jmilne.org)

子群、商群与结构映射

子群是一个子集，它在原群的运算下自身也构成群。子群 $H$ 的左陪集 $gH=\{gh:h\in H\}$ 将原群划分为互不相交的部分。对于有限群，这一划分给出拉格朗日定理：

其中，$[G:H]$ 是左陪集的个数。因此，子群的阶整除原群的阶。(math.mit.edu)

正规子群 $N$ 对每个 $g\in G$ 都满足 $gNg^{-1}=N$。它的陪集构成商群 $G/N$，其乘法定义为 $(gN)(hN)=ghN$。正规性保证这一运算不依赖于所选的陪集代表元。(math.mit.edu)

群同态是保持乘法的映射 $\varphi:G\to K$，即满足 $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$。它的核由所有被映射到单位元的元素组成，是一个正规子群。双射同态称为同构，它表明两个群虽然描述不同，却具有相同的代数结构。第一同构定理指出，$G/\ker\varphi$ 与 $\varphi$ 的像同构。(jmilne.org)

群作用与有限群的结构

群作用为每个群元素指定集合 $X$ 上的一个变换，并满足 $e\cdot x=x$ 和 $(gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)$。一个元素的轨道由通过群作用从它出发能够到达的所有点组成；它的稳定子由所有保持它不变的群元素组成。对于有限群，轨道—稳定子公式给出了这些量之间的关系：

群作用将抽象群与具体的对称性联系起来，也为计数论证提供了工具。(jmilne.org)

西罗定理通过阶为素数幂的子群，对有限群的结构施加约束。若 $|G|=p^am$，其中 $p$ 为素数且 $p\nmid m$，则存在阶为 $p^a$ 的子群。这些子群彼此共轭，其个数整除 $m$，并且模 $p$ 余 $1$。这些限制往往可以用来判断一个子群是否必为正规子群。(crypto.stanford.edu)

单群是非平凡群，且没有非平凡的真正规子群。可解群具有一个有限子群列，其中每个子群都是下一个子群的正规子群，且相邻子群形成的商群均为阿贝尔群。这些概念从不同角度描述了群能否分解以及如何分解。(math.mit.edu)

表示与连续对称性

表示论研究从群到向量空间上可逆线性变换群的同态，将群结构转化为线性代数问题。不可约表示没有非零的真不变子空间；将表示分解为不可约分量，可以揭示对称性如何作用于系统的不同部分。(math.mit.edu)

李群既是群，也是光滑流形，而且乘法与求逆运算都是光滑的。例子包括旋转群，以及实数或复数上的可逆矩阵群。与李群对应的李代数描述了单位元附近的无穷小结构。这为研究连续对称性提供了工具，与有限群所描述的离散对称性相互补充。(ocw.mit.edu)

联系与应用

在伽罗瓦理论中，域的自同构群刻画了多项式各根之间的关系。在特征为零的域上，一个多项式可用根式求解，当且仅当它的伽罗瓦群是可解群。这解释了为什么不存在能够求解所有五次多项式方程的根式公式。(jmilne.org)

在晶体学中，群用于系统描述保持晶体结构不变的旋转、反射和平移。三维周期结构共有 230 种晶体空间群类型。在量子力学中，表示描述了状态在对称操作下如何变换；李群则为物理理论中的连续对称性提供了数学框架。(iucr.org)