重整化群（RG）是物理学中描述系统的有效理论如何随考察它的长度尺度或能量尺度而变化的理论框架。它将微观相互作用与大尺度行为联系起来，并系统刻画理论参数对尺度的依赖。其主要应用领域包括量子场论、统计力学和凝聚态物理学。与狭义上指处理发散表达式的重整化不同，重整化群关注不同尺度下的理论描述之间的变换。(damtp.cam.ac.uk)
历史发展
重整化群方法起源于20世纪50年代的量子场论研究，当时人们将归一化尺度的变化与重整化参数的变化联系起来。20世纪60至70年代，利奥·卡达诺夫、迈克尔·费希尔和肯尼斯·威尔逊发展了以尺度变换为核心的临界现象理论框架。威尔逊的方法将复杂的多尺度问题化为一系列变换，系统地考虑从原子尺度到宏观尺度的各种涨落。他因建立了与相变有关的临界现象理论而获得1982年诺贝尔物理学奖。(damtp.cam.ac.uk)
这一发展还将统计物理中的问题与基本相互作用的研究联系起来。威尔逊的工作展示了如何在逐步降低的能量尺度上构造包含多个耦合的有效哈密顿量；他对近藤问题的处理就是其中一例，该问题涉及磁性杂质与传导电子之间的相互作用。(nobelprize.org)
粗粒化与有效描述
威尔逊的处理程序以**粗粒化**为起点：对微观变量或短波长涨落取平均，或将其积分消去。在晶格自旋系统中，可以用自旋块变量替代相邻的自旋。在场论中，可以对动量位于紫外截断附近某个壳层内的模式进行积分。随后对坐标和场作尺度重标度，使所得理论能够与原理论进行比较。(damtp.cam.ac.uk)
被消去的涨落并非简单地遭到忽略：它们的效应会改变剩余自由度之间的相互作用。由此得到的是有效哈密顿量或作用量，其中通常包含系统对称性所允许的额外相互作用。重复这一程序，会在“理论空间”中形成一条轨迹；这个空间的坐标是相互作用强度及其他参数。(s3.cern.ch)
连续进行的尺度变换可以复合，重整化群也因此得名。不过，粗粒化通常会丢失信息，无法唯一地逆转。因此，在这种表述中，这些变换构成的是半群，而非群论严格意义上的群。(damtp.cam.ac.uk)
流方程与不动点
尺度的连续变化通过贝塔函数（物理学）来表达。对于在能量尺度 (\mu) 上定义的无量纲耦合 (g_i)，有
[ \mu\frac{d g_i}{d\mu}=\beta_i(g_1,g_2,\ldots). ]
这些耦合方程描述了重整化群流。在不动点处，每个耦合都满足 (\beta_i=0)，因而无量纲的理论描述在尺度重标度下保持不变。高斯不动点描述自由理论；存在相互作用的不动点则是非高斯不动点。(s3.cern.ch)
在不动点附近，小扰动可以分解到各个标度方向上。随着长度尺度因子 (b) 增大，扰动在线性近似下的行为为
[ u_a(b)\simeq b^{y_a}u_a(1). ]
(y_a>0) 的方向称为相关方向，(y_a<0) 的方向称为无关方向，而 (y_a=0) 的方向称为边缘方向。对于边缘方向，需要进行更高阶的分析，才能确定相应扰动是增大、减小还是保持不变。相关扰动使系统偏离临界状态；无关扰动通常会对系统的主导标度行为带来修正。(damtp.cam.ac.uk)
临界现象与普适性
在连续相变的临界点处，关联长度在理想的无限系统极限下发散。涨落存在于许多不同尺度上，因此，忽略这些涨落之间相互作用的近似不再充分。重整化群通过流向尺度不变不动点的过程解释这一行为：在该不动点处，关联呈现幂律依赖，而不是按有限的特征长度所决定的规律衰减。(nobelprize.org)
当微观结构不同的系统趋向同一个不动点，因而具有相同的临界指数和标度形式时，它们便属于同一个**普适类**。空间维数、对称性和相互作用的作用范围有助于确定这种分类。与无关方向对应的微观差异会在大尺度上逐渐消失。因此，伊辛模型能够描述微观组成截然不同的系统所具有的普适性质。(damtp.cam.ac.uk)
例如，在临界温度附近，
[ \xi\propto |t|^{-\nu}, \qquad t=\frac{T-T_c}{T_c}, ]
其中 (\xi) 为关联长度。指数 (\nu) 与相关的热标度方向之间满足 (y_t=1/\nu)。这类关系将可测量的奇异行为与重整化群流的结构联系起来。(damtp.cam.ac.uk)
量子场论中的跑动耦合
在粒子物理学中，重整化群方程描述跑动耦合：重整化后的相互作用强度依赖于定义它们时所采用的尺度。在量子电动力学中，电磁耦合在微扰适用范围内随能量增大而增强。在量子色动力学中，强耦合在足够高的能量下减弱，从而产生渐近自由。(arxiv.org)
任意选取的重整化尺度本身并不是可观测量。在精确的理论预言中，显式的尺度依赖会与重整化参数和算符的尺度依赖相互抵消。在微扰理论中截断计算后，则会保留残余的尺度依赖。重整化群演化还能对某些类别的大对数项进行重求和，否则这些项会影响固定阶数展开的可靠性。(arxiv.org)
方法与局限
重整化群是一种理论框架，而不是单一的计算方法。ε 展开研究空间维数接近临界维数时的理论；数值重整化群通过迭代构造低能描述；泛函重整化群则研究随尺度变化的有效作用量的演化。尽管泛函流方程可以是精确的，实际求解时通常仍需对保留的相互作用或泛函依赖作截断。(damtp.cam.ac.uk)
在有效场论中，重整化群将不同尺度对应的效应分离开来，并描述有效算符系数的演化。运用这一框架并不需要了解每一种微观相互作用，但要获得定量预言，仍须控制近似、匹配条件以及有效描述的适用范围。(cds.cern.ch)