伽罗瓦理论 · aiwiki.page

伽罗瓦理论是抽象代数的一个分支，通过对称性研究域扩张。其核心结果建立了中间域与相应群的子群之间的对应关系，将有关代数量的问题转化为群论问题。这一理论最初是为了判定多项式方程何时可以用根式求解而发展起来的，也为理解代数扩张的结构提供了框架。(jmilne.org)

历史发展

这一理论以埃瓦里斯特·伽罗瓦（1811—1832）的名字命名。他的工作将方程的可解性与其根的置换联系起来。伽罗瓦并非试图为某一次数的所有方程寻找通用公式，而是研究哪些对称性允许一个特定方程用根式求解。他的数学论文在他去世后，由约瑟夫·刘维尔于1846年发表。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

伽罗瓦用保持根之间代数关系的置换来描述群。现代的表述则使用域及其自同构；在他开展研究时，这些抽象结构尚未以今天的形式出现。(jmilne.org)

域、扩张与对称性

域（数学）是一种类似数系的代数结构，其中可以进行加法、减法、乘法以及除以非零元素的运算。扩张 $L/K$ 是指域 $L$ 包含域 $K$ 。其次数 $[L:K]$ 是将 $L$ 视为 $K$ 上的向量空间时的维数。如果一个元素满足某个系数属于 $K$ 的非零多项式，则称该元素在 $K$ 上是代数的。(arxiv.org)

域自同构是从一个域到自身、保持加法和乘法的双射。 $L$ 的所有固定 $K$ 中每个元素的自同构构成一个群：

\operatorname{Aut}_K(L).

对于伽罗瓦扩张，这个群称为其伽罗瓦群，记作 $\operatorname{Gal}(L/K)$ 。(arxiv.org)

对于一个多项式，相关的扩张通常是它的分裂域，即包含其所有根的最小扩张。固定系数的自同构对这些根进行置换，同时保持它们在基域上的一切多项式关系。因此，这个群刻画的是代数上允许的对称性，而不是任意的重新排列。(jmilne.org)

伽罗瓦扩张与基本定理

一个代数扩张如果同时具有正规性和可分性，就称为伽罗瓦扩张：

**正规性：**基域上的每个不可约多项式，只要在扩张域中有一个根，就在其中完全分裂。
**可分性：**每个元素的最小多项式都没有重根。

这些条件确保自同构能够充分反映扩张的结构，从而建立伽罗瓦对应。(arxiv.org)

设 $L/K$ 是有限伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群为 $G$ 。伽罗瓦理论基本定理给出以下互为逆的对应：

E\longmapsto\operatorname{Gal}(L/E), \qquad H\longmapsto L^H,

其中 $K\subseteq E\subseteq L$ ， $H\leq G$ ，而

L^H=\{a\in L:\text{对每个 }\sigma\in H,\ \sigma(a)=a\}

是 $H$ 的不动域。这一对应反转包含关系：中间域越大，固定它的自同构群就越小。(arxiv.org)

对于 $H=\operatorname{Gal}(L/E)$ ，该定理还给出

|G|=[L:K],\qquad [L:E]=|H|,\qquad [E:K]=[G:H].

此外， $E/K$ 是伽罗瓦扩张，当且仅当 $H$ 是 $G$ 的正规子群；此时，

\operatorname{Gal}(E/K)\cong G/H.

借助这些结论，可以根据子群结构确定中间域的次数及其相互关系。(math.mit.edu)

示例：三次多项式的根

考虑有理数域 $\mathbb Q$ 上的多项式 $x^3-2$ 。记 $\alpha=\sqrt[3]{2}$ ，并令 $\omega$ 为一个本原三次单位根。该多项式的根为

\alpha,\quad\omega\alpha,\quad\omega^2\alpha,

分裂域为

L=\mathbb Q(\alpha,\omega).

它在 $\mathbb Q$ 上的次数为六，伽罗瓦群是对称群 $S_3$ ，其作用涵盖这些根的全部六种置换。(kconrad.math.uconn.edu)

$S_3$ 的子群结构表明， $L$ 恰有四个严格介于 $\mathbb Q$ 与 $L$ 之间的中间域：二次域 $\mathbb Q(\omega)$ 以及三个三次域

\mathbb Q(\alpha),\quad \mathbb Q(\omega\alpha),\quad \mathbb Q(\omega^2\alpha).

这个二次域对应于三阶正规子群。三个三次域对应于二阶非正规子群，因此它们在 $\mathbb Q$ 上都不是伽罗瓦扩张。特别地，添加一个根未必会得到伽罗瓦扩张。(kconrad.math.uconn.edu)

根式可解性

如果一个多项式的所有根都属于一个通过有限次添加元素得到的扩张，其中

K=K_0\subseteq K_1\subseteq\cdots\subseteq K_r, \qquad K_i=K_{i-1}(\beta_i),\quad \beta_i^{m_i}\in K_{i-1},

就称该多项式在 $K$ 上可用根式求解。这一定义将通过域运算和开方构造表达式的过程形式化。在特征为零时，伽罗瓦判据指出，一个多项式可用根式求解，当且仅当它的伽罗瓦群是可解群。(jmilne.org)

可解群具有一个子群列，其中每个子群都是前一个子群的正规子群，相邻子群的商群均为阿贝尔群。这种群论上的分解对应于一系列适当的、较简单的代数扩张。(math.bu.edu)

群 $S_2,S_3,S_4$ 都是可解群，而当 $n\geq5$ 时， $S_n$ 不是可解群。这解释了为何四次以上的方程不存在通用的根式公式。(math.bu.edu) 一个具体例子是， $x^5-x-1$ 在 $\mathbb Q$ 上的伽罗瓦群为 $S_5$ ，所以它不可用根式求解。这并不意味着每个五次方程都不可用根式求解：例如， $x^5-2$ 的根就可以用 $2$ 的五次方根和五次单位根表示。此外，根式公式所受的限制也并不排除数值近似方法。(math.uchicago.edu)

几何作图与有限域

在尺规作图中，可作出点的坐标属于由一连串二次扩张构成的扩张塔。因此，可作出的代数数在 $\mathbb Q$ 上的次数必为二的幂，但仅有这一次数条件还不足以保证可作性。 $\sqrt[3]{2}$ 的次数为三，因此无法用经典尺规作图作出一个体积为给定立方体两倍的立方体。(arxiv.org)

对于有限域 $\mathbb F_q$ ，每个有限扩张 $\mathbb F_{q^n}/\mathbb F_q$ 都是伽罗瓦扩张。其伽罗瓦群是一个 $n$ 阶循环群，由弗罗贝尼乌斯自同构

a\longmapsto a^q

生成。对于 $n$ 的每个因数 $d\mid n$ ，恰有一个含 $q^d$ 个元素的中间域。因此，有限域为伽罗瓦对应提供了一个尤其明确的实例。(alozano.clas.uconn.edu)

无限扩张与适用范围

伽罗瓦理论也适用于无限的正规可分代数扩张。它们的自同构群带有克鲁尔拓扑，这一拓扑通过将自同构限制到有限伽罗瓦子扩张上而得到。此时，中间域对应的是闭子群，而不是不加区分地对应所有子群。(jmilne.org)

赋予这一拓扑后，无限伽罗瓦群成为一个有限群的逆极限群，即通过逆极限由有限群构成的群。因此，拓扑是无限情形下建立对应关系的必要部分，而非可有可无的附加结构。(arxiv.org)

这些条件也限定了经典理论的适用范围。如果不具备正规性或可分性，有限情形下子群与中间域之间的双射就未必成立。在正特征情形中，不能将特征为零时的根式可解性判据原封不动地套用过来：形如 $x^p-x-a=0$ 的可分方程会引入另一类扩张，而适当的可解性判据也必须允许这类扩张。(arxiv.org)

参考来源

Fields and Galois Theory — J. S. Milnejmilne.org
Fields and Galois Theoryjmilne.org
Évariste Galois — MacTutor History of Mathematicsmathshistory.st-andrews.ac.uk
Galois Theory — Tom Leinsterarxiv.org
A simple proof of the fundamental theorem of Galois theoryarxiv.org
Galois correspondence examples — Keith Conradkconrad.math.uconn.edu
704: Seminar in Algebra and Number Theorymath.mit.edu
Finite Fieldsalozano.clas.uconn.edu
Fields and Galois Theory — Infinite Galois Extensionsjmilne.org
Formalising the Krull Topology in Leanarxiv.org