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数学 / quotient-vector-space

商向量空间

商向量空间将差属于指定子空间的向量视为同一元素，并继承原空间的加法和标量乘法。

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线性子空间向量空间域（数学）等价关系陪集线性映射满射函数核（线性映射）商向量空间

商向量空间是把差属于指定线性子空间的向量视为同一元素而构成的向量空间。设 VV 是域 FF 上的向量空间，W⊆VW\subseteq V 是其子空间，则商向量空间记为 V/WV/W。它的元素是向量的集合，而不是 VV 中的单个向量。加法和标量乘法继承自 VV，因此，这一构造使我们能够忽略属于 WW 的差异。(heil.math.gatech.edu)

定义与向量空间运算

在 VV 上定义等价关系：

v∼u⟺v−u∈W.v\sim u\quad\Longleftrightarrow\quad v-u\in W.

vv 的等价类就是它的陪集

[v]=v+W={v+w:w∈W}.[v]=v+W=\{v+w:w\in W\}.

因此，

V/W={v+W:v∈V}.V/W=\{v+W:v\in V\}.

两个陪集相等，当且仅当它们的代表元之差属于 WW；否则，它们互不相交。因此，这些陪集构成了 VV 的一个划分。(heil.math.gatech.edu)

商空间上的运算定义为

(v+W)+(u+W)=(v+u)+W,a(v+W)=av+W.(v+W)+(u+W)=(v+u)+W,\qquad a(v+W)=av+W.

这些运算不依赖于代表元的选择。例如，将 vv 和 uu 分别替换为 v+w1v+w_1 和 u+w2u+w_2，它们的和只改变了 w1+w2w_1+w_2，而这个差仍属于 WW。利用 WW 对标量乘法的封闭性，也可以同样验证标量乘法与代表元的选择无关。随后，向量空间的各项公理都可由 VV 的相应公理推出。零元素是整个陪集 WW，而 v+Wv+W 的加法逆元是 −v+W-v+W。(math.uh.edu)

记号 V/WV/W 既不表示数值上的除法，也不表示从集合 VV 中去掉 WW。WW 中的每个向量都成为同一个零元素，而 WW 外的向量则按它们之间的差分组。(heil.math.gatech.edu)

典范投影与泛性质

典范投影

q:V⟶V/W,q(v)=v+Wq:V\longrightarrow V/W,\qquad q(v)=v+W

是线性映射，也是满射函数。它的核恰好是 WW。(heil.math.gatech.edu)

商空间的特征性映射性质称为其泛性质：只要线性映射 T:V→UT:V\to U 满足 W⊆ker⁡TW\subseteq\ker T，就存在唯一的线性映射

T‾:V/W⟶U\overline T:V/W\longrightarrow U

使得 T=T‾∘qT=\overline T\circ q。具体而言，

T‾(v+W)=T(v).\overline T(v+W)=T(v).

这一定义是良定义的，因为对每个 w∈Ww\in W，都有 T(v+w)=T(v)T(v+w)=T(v)；唯一性则来自商空间中的每个元素都有代表元这一事实。等价地，一个线性映射能够诱导出商空间上的映射，当且仅当它在 WW 上恒为零。(math.uh.edu)

取 W=ker⁡TW=\ker T，便得到第一同构定理：

V/ker⁡T≅im⁡T,v+ker⁡T⟼T(v).V/\ker T\cong\operatorname{im}T, \qquad v+\ker T\longmapsto T(v).

这一诱导映射是到 TT 的像上的同构。因此，商空间恰好保留了 TT 所能区分的差异。(math.mit.edu)

维数、基与补空间

对于有限维的 VV，

dim⁡(V/W)=dim⁡V−dim⁡W.\dim(V/W)=\dim V-\dim W.

这一维数称为 WW 在 VV 中的余维数。两个极端情形是 V/{0}≅VV/\{0\}\cong V 和 V/V={0}V/V=\{0\}。(math.mit.edu)

要得到一组具体的基，可以将 WW 的一组基 w1,…,wkw_1,\ldots,w_k 扩充为 VV 的一组基

w1,…,wk,vk+1,…,vn.w_1,\ldots,w_k,v_{k+1},\ldots,v_n.

于是，

vk+1+W,…,vn+Wv_{k+1}+W,\ldots,v_n+W

构成 V/WV/W 的一组基。它们的线性无关性可以这样说明：若这些 viv_i 的某个非平凡线性组合属于 WW，就会在扩充后的基向量之间产生线性相关关系。这些陪集张成整个商空间，因为属于 WW 的分量在商空间中都为零。(math.mit.edu)

新增的向量张成一个补空间 CC，从而得到直和 V=W⊕CV=W\oplus C。将 qq 限制在 CC 上，便得到同构 C→V/WC\to V/W。不过，这个补空间一般依赖于具体的选择；商空间本身则无须选择代表元。将维数公式应用于 ker⁡T\ker T，就得到秩—零化度定理。(math.mit.edu)

几何解释与示例

在实数域上，每个陪集都是与 WW 平行的仿射子空间。如果 WW 是平面内一条过原点的直线，那么商空间由所有与该直线平行的直线组成，每一整条直线都被视为一个向量。(heil.math.gatech.edu)

例如，取

V=R2,W={(x,0):x∈R}.V=\mathbb R^2,\qquad W=\{(x,0):x\in\mathbb R\}.

(a,b)(a,b) 的陪集是水平直线

(a,b)+W={(x,b):x∈R}.(a,b)+W=\{(x,b):x\in\mathbb R\}.

它所属的等价类只取决于 bb，所以

R2/W⟶R,(a,b)+W⟼b\mathbb R^2/W\longrightarrow\mathbb R,\qquad (a,b)+W\longmapsto b

是线性同构。商空间中向量的相加对应于直线高度的相加，标量乘法则对应于将高度乘以该标量。(math.mit.edu)

赋范空间与希尔伯特空间的商空间

若 VV 是赋范向量空间，则可在商空间上定义半范数

∥v+W∥V/W=inf⁡w∈W∥v−w∥V.\|v+W\|_{V/W}=\inf_{w\in W}\|v-w\|_V.

它衡量代表元到 WW 的距离。当且仅当 WW 是闭子空间时，这个半范数才是真正的范数。如果 VV 是巴拿赫空间且 WW 是闭子空间，那么商空间也完备，因而也是巴拿赫空间。(people.math.ethz.ch)

对于希尔伯特空间中的闭子空间 WW，每个陪集在正交补 W⊥W^\perp 中都有唯一的代表元。对应 V/W≅W⊥V/W\cong W^\perp 是等距的：将任一代表元正交投影到 W⊥W^\perp 上，即可得到这个唯一代表元。与任意选取的代数补空间不同，这一选择由给定的内积结构确定。(people.math.ethz.ch)