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数学 / rank-nullity-theorem

秩–零度定理

秩–零度定理指出，线性映射的秩与零度之和等于其有限维定义域的维数。

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秩–零度定理是线性代数中的一个基本结论，描述了线性映射的输入空间、像与核的维数之间的关系。该定理指出，当定义域为有限维空间时，其维数等于映射的秩与零度之和。秩衡量映射所能产生的输出构成的空间的维数；零度衡量被映射到零的输入构成的空间的维数。这一结论也称为维数定理。(math.dartmouth.edu)

定理陈述与定义

设 T:V→WT:V\to W 是同一域 FF 上两个向量空间之间的线性映射，其中 VV 为有限维空间。其核与像分别为

ker⁡T={v∈V:T(v)=0},im⁡T={T(v):v∈V}.\ker T=\{v\in V:T(v)=0\},\qquad \operatorname{im}T=\{T(v):v\in V\}.

它们分别是 VV 和 WW 的线性子空间。定义

nullity⁡T=dim⁡(ker⁡T),rank⁡T=dim⁡(im⁡T).\operatorname{nullity}T=\dim(\ker T),\qquad \operatorname{rank}T=\dim(\operatorname{im}T).

定理断言

dim⁡V=rank⁡T+nullity⁡T.\boxed{\dim V=\operatorname{rank}T+\operatorname{nullity}T}.

这里的维数是指一组基中向量的个数，而不是空间中元素的个数。只有定义域必须是有限维的；陪域可以是无限维的。(courses.math.wichita.edu)

像不一定等于陪域。因此，公式中使用的是 dim⁡(im⁡T)\dim(\operatorname{im}T)，而不是 dim⁡W\dim W。该定理适用于任意域，既不需要内积，也不需要距离的概念。(lancaster.ac.uk)

通过扩充基进行证明

一种标准的数学证明从 ker⁡T\ker T 的一组基

k1,…,kqk_1,\ldots,k_q

出发，将其扩充为 VV 的一组基

k1,…,kq,v1,…,vr.k_1,\ldots,k_q,v_1,\ldots,v_r.

于是 dim⁡V=q+r\dim V=q+r。关键步骤是证明 T(v1),…,T(vr)T(v_1),\ldots,T(v_r) 构成像的一组基。(homepages.ucl.ac.uk)

VV 中的每个向量都是这些基向量的线性组合。由于 T(ki)=0T(k_i)=0，对这样的线性组合应用 TT，便可看出像中的每个向量都属于 T(v1),…,T(vr)T(v_1),\ldots,T(v_r) 的线性包。为证明它们线性无关，假设

∑j=1rajT(vj)=0.\sum_{j=1}^{r}a_jT(v_j)=0.

则 ∑jajvj∈ker⁡T\sum_j a_jv_j\in\ker T，所以它也可以表示为 kik_i 的线性组合。由扩充后的基的线性无关性可知，所有 aja_j 都等于零。因此，像的维数为 rr，核的维数为 qq，从而证明了该公式。当核为零子空间或像为零子空间时，相应的基为空集，证明仍然成立。(homepages.ucl.ac.uk)

矩阵形式与计算

对于域 FF 上的一个 m×nm\times n 矩阵 AA，矩阵乘法定义了一个映射 Fn→FmF^n\to F^m。其像是各列向量的线性包，其核是 AA 的零空间。因此，

rank⁡A+dim⁡(ker⁡A)=n.\operatorname{rank}A+\dim(\ker A)=n.

两者之和等于列数，一般并不等于行数。矩阵的秩既等于列空间的维数，也等于行空间的维数。(lancaster.ac.uk)

高斯消元法给出了这一结论的计算解释。如果行化简后有 rr 个主元，那么秩就是 rr。在齐次线性方程组 Ax=0Ax=0 中，其余 n−rn-r 个变量是自由变量。每个自由变量都提供一个独立的解参数，因此零度为 n−rn-r。行变换保持齐次方程组的解集和矩阵的秩不变，但不一定保持列空间本身不变。(math.dartmouth.edu)

例如，考虑

A=(123011).A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&1&1 \end{pmatrix}.

它的前两列线性无关，因此秩为 22。解方程组 Ax=0Ax=0 得

x2=−x3,x1=−x3,x_2=-x_3,\qquad x_1=-x_3,

所以

ker⁡A=span⁡{(−1,−1,1)}.\ker A=\operatorname{span}\{(-1,-1,1)\}.

零度为 11，且 2+1=32+1=3，恰好等于定义域的维数。这一例子展示了主元与自由变量的解释。(math.dartmouth.edu)

对线性方程组的推论

该定理将秩与单射性联系起来：线性映射为单射，当且仅当其核为 {0}\{0\}，也等价于其秩等于 dim⁡V\dim V。如果 WW 为有限维空间，则满射性等价于秩等于 dim⁡W\dim W。因此，当定义域与陪域均为有限维且维数相等时，单射性与满射性等价。对于方阵，这些条件都是可逆性的等价条件。(courses.math.wichita.edu)

有解的方程组 Ax=bAx=b 的解集为

x=x0+z,z∈ker⁡A,x=x_0+z,\qquad z\in\ker A,

其中 x0x_0 是任意一个特解。该解集是一个维数为 n−rn-r 的仿射空间：秩决定独立约束的个数，而零度给出剩余参数的个数。特别地，m<nm<n 保证齐次方程组存在非零解，因为 r≤m<nr\le m<n。但这并不能保证非齐次方程组有解。(courses.math.wichita.edu)

商空间解释与其他算子

商向量空间 V/ker⁡TV/\ker T 将差属于核的输入视为同一个元素。诱导映射

v+ker⁡T⟼T(v)v+\ker T\longmapsto T(v)

是到 im⁡T\operatorname{im}T 的一个同构。这就是向量空间的第一同构定理。对两边取维数，并利用

dim⁡(V/ker⁡T)=dim⁡V−dim⁡(ker⁡T),\dim(V/\ker T)=\dim V-\dim(\ker T),

即可得到秩–零度定理。商空间准确地表达了映射保留了输入之间的哪些区别。(math.dartmouth.edu)

该定理也适用于最初并非以矩阵形式给出的算子。在次数不超过 dd 的实系数多项式空间上，其中 d≥1d\ge1，求导算子的核由常数多项式组成，维数为一。它的像由所有次数不超过 d−1d-1 的多项式组成，是一个维数为 dd 的空间。因此，其秩与零度之和为 d+1d+1，等于定义域的维数。(homepages.ucl.ac.uk)