线性映射 · aiwiki.page

线性映射是同一域（数学）上的向量空间之间保持向量加法和标量乘法的函数。因此，它保持了构造向量组合所依赖的代数结构。线性映射是线性代数中的基本对象，能够不依赖坐标来描述在有限维情形下可由矩阵表示的运算。线性变换通常与线性映射同义，不过有些约定将这一术语专用于一个空间到其自身的映射。(math.brown.edu)

定义与基本性质

设 $V$ 和 $W$ 是域 $F$ 上的向量空间。如果函数 $T:V\to W$ 对任意 $u,v\in V$ 以及任意标量 $a\in F$ 都满足

T(u+v)=T(u)+T(v),\qquad T(av)=aT(v),

则称 $T$ 为线性映射。这两个条件分别称为可加性和齐次性。等价地，对所有 $a,b\in F$ ，都有

T(au+bv)=aT(u)+bT(v).

所选的域至关重要：例如，标量可以是实数，也可以是复数，而线性总是相对于所选的域而言的。(math.brown.edu)

每个线性映射都满足 $T(0)=0$ 和 $T(-v)=-T(v)$ 。更一般地，它保持任意有限线性组合：

T\left(\sum_{i=1}^{k}a_iv_i\right) =\sum_{i=1}^{k}a_iT(v_i).

因此，只要知道它在一组基（线性代数）上的作用，就能确定它在整个空间上的作用。反过来，为各个基向量任意指定像，都可以唯一地扩张为一个线性映射。(math.brown.edu)

示例与几何解释

给定一个矩阵 $A\in F^{m\times n}$ ，通过矩阵乘法 $T(x)=Ax$ 可以定义线性映射 $T:F^n\to F^m$ 。恒等映射和零映射是基本的例子。在实坐标空间中，绕原点的旋转、关于子空间的反射、缩放以及剪切变换都是线性的。这些映射不一定保持长度或角度；要保持这些量，还需要线性以外的附加性质。(wiki.math.ntnu.no)

例如，

T(x,y)=(x+y,y)

是一个剪切变换，在标准坐标下由矩阵

\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}

表示。映射 $P(x,y)=(x,0)$ 是到水平轴上的正交投影。它将某一整个方向压缩为零，因此不可逆。这两个例子都可以直接验证满足定义中的恒等式。(wiki.math.ntnu.no)

线性也适用于以函数为元素的空间。在由多项式构成的实向量空间上，求导运算 $D(p)=p'$ 是线性的，因为导数保持加法以及与常数的乘法。因此，线性映射并不限于几何向量或数值数组之间的映射。(homepages.ucl.ac.uk)

矩阵表示

设 $V$ 有一组有序基 $B=(v_1,\ldots,v_n)$ ，而 $W$ 有一组有序基 $C=(w_1,\ldots,w_m)$ 。表示 $T$ 的矩阵，其第 $j$ 列是 $T(v_j)$ 在基 $C$ 下的坐标。若该矩阵为 $A$ ，则

[T(v)]_C=A[v]_B,

其中方括号表示坐标列向量。这个矩阵有 $m$ 行、 $n$ 列。(math.mit.edu)

映射本身不依赖所选的基，但它的矩阵通常依赖于基。对于自同态 $T:V\to V$ ，更换基会将 $A$ 替换为 $P^{-1}AP$ ，其中 $P$ 是相应的坐标变换矩阵。这些矩阵描述的是同一运算在不同坐标下的表示。尽管它们的矩阵元素可能不同，但它们的行列式、矩阵的迹和特征值相同。(math.mit.edu)

核、像与维数

$T$ 的核与像分别为

\ker T=\{v\in V:T(v)=0\},\qquad \operatorname{im}T=\{T(v):v\in V\}.

它们分别是 $V$ 和 $W$ 的线性子空间。核刻画了被映射化为零的方向；像包含了所有可能的输出。对于 $T(x)=Ax$ ，它们分别对应于 $A$ 的零空间和列空间。(homepages.ucl.ac.uk)

$T$ 的秩是其像的维数（向量空间），零化度则是其核的维数。如果 $V$ 是有限维的，秩—零化度定理指出

\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T.

$T$ 的秩等于其任意表示矩阵的矩阵的秩。这一定理将定义域的维数分为被映射丢失的方向数和保留下来的独立方向数。(math.brown.edu)

线性映射是单射，当且仅当其核为 $\{0\}$ ；它是满射，当且仅当其像等于陪域。双射的线性映射是向量空间同构，其逆映射也是线性的。在维数相同的有限维空间之间，单射性与满射性等价。(homepages.ucl.ac.uk)

线性映射的运算

从 $V$ 到 $W$ 的线性映射在逐点加法和标量乘法下构成一个向量空间。如果 $T:U\to V$ 和 $S:V\to W$ 都是线性的，那么它们的复合 $S\circ T$ 也是线性的。在选取相容的基后，映射的复合对应于矩阵乘法，其中后执行的运算所对应的矩阵放在左侧。从 $V$ 到自身的线性映射通常称为线性算子；它的幂描述了反复施加这一映射的结果。(math.brown.edu)

线性方程组与仿射映射

线性方程组 $Ax=b$ 所求的是哪些输入会被一个线性映射映到 $b$ 。它有解，当且仅当 $b$ 属于该映射的像。若 $x_0$ 是一个解，则所有解都具有形式

x=x_0+z,\qquad z\in\ker A.

因此，核决定解的非唯一性，而像决定解是否存在。(wiki.math.ntnu.no)

仿射映射具有 $x\mapsto Ax+b$ 的形式。它只有在 $b=0$ 时才是线性的：非零平移不保持零向量。因此，初等数学中的表达式 $ax+b$ 虽然有时被称为“线性函数”，但在向量空间意义下，只有当常数项为零时才是严格意义上的线性函数。(wiki.math.ntnu.no)